Discuta o comportamento da série abaixo, justificando sua resposta:
sumn=1^+infty(nn+1)^n^2

Passo 1

O enunciado pede para discutir a convergência da série
sumn=1^+inftyl(nn+1r)^n^2
O conteúdo aqui é testes de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste da raiz enésima, que diz: se
L = limsupntoinftyraiz[n]|an|,
então a série sum an converge se L<1, diverge se L>1.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz enésima ao termo geral
an = l(nn+1r)^n^2
Calculamos
raiz[n]an = l(nn+1r)^n = l(1-1n+1r)^n
Tomando o limite, reconhecemos a forma do número e^-1:
limntoinftyl(1-1n+1r)^n = e^-1

Passo 3

Como o resultado do teste da raiz é
L = e^-1 < 1,
seguindo o critério, a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^+inftyl(tfracnn+1r)^n^2 é convergente (converge absolutamente).

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