Discuta o comportamento da série abaixo, justificando sua resposta:
sumn=0^+infty n!2.5 8 cdots(3 n+2)

Passo 1

Então, a gente tem uma série infinita pra analisar: sumn=0^+infty n!2 cdot 5 cdot 8 cdots (3n+2). O que queremos saber é se essa série converge, ou seja, se ela soma a um número finito, ou diverge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar a convergência de séries envolvendo fatorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor os termos da série. O numerador é n!, que é o fatorial de n. O denominador é um produto de termos que seguem a sequência 2, 5, 8, dots, (3n+2). Podemos reescrever o denominador de forma geral como prodk=0^n (3k + 2).

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Razão. Esse teste diz que a série sum an converge se o limite L = limn to infty | an+1an | for menor que 1. Então, vamos calcular essa razão para o nosso termo geral.

Passo 4

Calculando a razão an+1an:
an+1an = (n+1)!2 cdot 5 cdot 8 cdots (3(n+1)+2) times 2 cdot 5 cdot 8 cdots (3n+2)n! = n+13n + 5

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando n tende ao infinito:
L = limn to infty n+13n + 5
Dividindo numerador e denominador por n:
L = limn to infty 1 + 1n3 + 5n = 13

Passo 6

Como o limite L = 13 é menor que 1, segundo o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série sumn=0^+infty n!2 cdot 5 cdot 8 cdots (3n+2) converge.

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