Calcule, pela definição a Transformada de Laplace das funções
(a) f(t)=\operatorname{sen} 2 t.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=\sin(2t), ou seja
I(s)=\mathcal{L}\{\sin(2t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(2t)\,dt,
para \Re(s)>0. Vamos usar a definição da transformada e integração por partes para chegarmos a uma expressão fechada em função de s.

Passo 2

Definimos
I(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(2t)\,dt.
Para calcular I(s), aplicamos integração por partes escolhendo
u=\sin(2t),\quad dv=e^{-st}dt
de forma que
du=2\cos(2t)\,dt,\quad v=-\frac{1}{s}e^{-st}.
A fórmula de partes dá
I(s) =\Bigl[u\,v\Bigr]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}v\,du =0-\int_{0}^{\infty}\Bigl(-\tfrac{1}{s}e^{-st}\Bigr)\,2\cos(2t)\,dt =\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(2t)\,dt.
Chamemos esse segundo integral de
J(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(2t)\,dt,
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I(s)=\frac{2}{s}\,J(s).

Passo 3

Agora calculamos
J(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(2t)\,dt
também por partes, com
u=\cos(2t),\quad dv=e^{-st}dt
de modo que
du=-2\sin(2t)\,dt,\quad v=-\frac{1}{s}e^{-st}.
Aplicando partes:
J(s) =\Bigl[u\,v\Bigr]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}v\,du =\Bigl[0-(-\tfrac{1}{s}\cdot1)\Bigr] -\int_{0}^{\infty}\Bigl(-\tfrac{1}{s}e^{-st}\Bigr)(-2\sin(2t))\,dt =\frac{1}{s}-\frac{2}{s}\,I(s).

Passo 4

Substituímos J(s) na expressão de I(s):
I(s)=\frac{2}{s}\,J(s) =\frac{2}{s}\Bigl(\frac{1}{s}-\frac{2}{s}\,I(s)\Bigr) =\frac{2}{s^2}-\frac{4}{s^2}\,I(s).
Reorganizando para isolar I(s):
I(s)+\frac{4}{s^2}\,I(s)=\frac{2}{s^2} \quad\Longrightarrow\quad I(s)\Bigl(1+\frac{4}{s^2}\Bigr)=\frac{2}{s^2} \quad\Longrightarrow\quad I(s)=\frac{2/s^2}{(s^2+4)/s^2} =\frac{2}{s^2+4}.

Resposta

\mathcal{L}\{\sin(2t)\}(s)=\frac{2}{s^2+4},\quad \Re(s)>0.

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