Determine se o campo vetorial dado é conservativo.Se for conservativo,determine uma função
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo, e, caso seja, encontrar uma função potencial
tal que
. O conteúdo principal aqui é o teste de conservatividade via o rotacional (
) em um domínio simplesmente conexo (aqui
).
Passo 2
Lembrando que um campo vetorial
definido em um domínio simplesmente conexo é conservativo se, e somente se,
Identificamos
Passo 3
Calculamos as componentes do rotacional:
Agora cada derivada parcial:
Portanto
que não é o vetor nulo.
Passo 4
Como o rotacional
é diferente de
em geral, concluímos que
não é conservativo em
. Logo não existe função potencial
global tal que
.
Resposta
O campo não é conservativo, pois