Calcule, PELA DEFINIÇÃO, a transformada de Laplace das seguintes funções.
f(t)=3 t

Passo 1

O enunciado pede para calcular, pela definição, a transformada de Laplace da função f(t)=3t. Vamos usar a definição
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-st}\,\mathrm{d}t
e, para resolver a integral, aplicaremos o método de integração por partes.

Passo 2

Escrevemos a transformada de Laplace de f(t)=3t:
\mathcal{L}\{3t\}(s) = \int_{0}^{\infty} 3t\,e^{-st}\,\mathrm{d}t.

Passo 3

Como a constante 3 pode sair da integral, temos
\mathcal{L}\{3t\}(s) = 3 \int_{0}^{\infty} t\,e^{-st}\,\mathrm{d}t.
Chamemos
I = \int_{0}^{\infty} t\,e^{-st}\,\mathrm{d}t.

Passo 4

Para calcular I, aplicamos integração por partes, escolhendo
u = t,\quad \mathrm{d}v = e^{-st}\,\mathrm{d}t
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\mathrm{d}u = \mathrm{d}t,\quad v = -\frac{1}{s}e^{-st}.
Assim,
I = \Bigl.u\,v\Bigr|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} v\,\mathrm{d}u = \Bigl[-\frac{t}{s}e^{-st}\Bigr]_{0}^{\infty} + \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,\mathrm{d}t.
O termo de fronteira vale zero (para s>0 temos t e^{-st}\to0 quando t\to\infty e em t=0 é zero), e
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{s}.
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I = 0 + \frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s} = \frac{1}{s^{2}}.

Passo 5

Voltando à transformada de 3t,
\mathcal{L}\{3t\}(s) = 3\,I = 3 \cdot \frac{1}{s^{2}} = \frac{3}{s^{2}},
com região de convergência s>0.

Resposta

\mathcal{L}\{3t\}(s) = \frac{3}{s^{2}},\quad s>0.

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