Resolva os seguintes problemas de valor inicial utilizando a transformada de Laplace.
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-y=2, y(0)=\frac{d y}{d x}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - y = 2
com as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0, usando transformada de Laplace.
Vamos precisar das fórmulas
\mathcal{L}\bigl\{y'(x)\bigr\}=sY(s)-y(0), \quad \mathcal{L}\bigl\{y''(x)\bigr\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
e da transformada de uma constante
\mathcal{L}\{2\}=\frac{2}{s}.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação:
\mathcal{L}\bigl\{y''(x)\bigr\}-\mathcal{L}\bigl\{y(x)\bigr\} =\mathcal{L}\{2\}.
Substituindo as fórmulas e usando y(0)=0, y'(0)=0, obtemos
\bigl(s^2Y(s)-s\cdot0-0\bigr)\;-\;Y(s) =\frac{2}{s},
ou seja
\bigl(s^2-1\bigr)Y(s)=\frac{2}{s}.

Passo 3

Isolamos Y(s):
Y(s)=\frac{2}{s\,(s^2-1)}=\frac{2}{s\,(s-1)(s+1)}.

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{2}{s\,(s-1)(s+1)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s-1}+\frac{C}{s+1}.
Multiplicando por s(s-1)(s+1) e comparando coeficientes em s, chega-se a
A=-2,\quad B=1,\quad C=1.
Logo
Y(s)=-\frac{2}{s}+\frac{1}{s-1}+\frac{1}{s+1}.

Passo 5

Aplicamos a transformada inversa termo a termo:
y(x) =\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{-\tfrac{2}{s}\Bigr\} +\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s-1}\Bigr\} +\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s+1}\Bigr\} =-2 + e^{x} + e^{-x}.
Podemos escrever também
y(x)=e^{x}+e^{-x}-2=2\operatorname{cosh}(x)-2.

Resposta

y(x)=e^{x}+e^{-x}-2.

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