Calcule \Delta \mathrm{S} correspondente ao aquecimento isobárico de 1 mol de N_{2} (g) desde 300 K a 1000 K.
C_{p}=26,9834+5,9099 \times 10^{-3} T
36,652 \mathrm{~J} / \mathrm{K} mol
39,526 \mathrm{~J} / \mathrm{K} mol
□ 32,654 J/K mol
37,237 \mathrm{~J} / \mathrm{K} mol
36,938 \mathrm{~J} / \mathrm{K} mol

Passo 1

O enunciado pede o incremento de entropia \Delta S para 1 mol de \mathrm{N}_2 gasoso aquecido isobaricamente de 300\\ \mathrm{K} até 1000\\ \mathrm{K}. Dados fornecidos:
  • quantidade de substância: 1 mol (ou seja, calcularemos \Delta S por mol);
  • temperatura inicial: T_1=300\\ \mathrm{K};
  • temperatura final: T_2=1000\\ \mathrm{K};
  • capacidade calorífica molar à pressão constante dependente de T: C_p(T)=26,9834+5,9099\times10^{-3}\,T\quad\text{(unidades: }\mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}\mathrm{mol}^{-1}\text{)}.
O que precisamos calcular: \Delta S correspondente ao aquecimento reversível isobárico entre T_1 e T_2.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático):
  • Definição diferencial de entropia para um processo reversível: \mathrm{d}S=\dfrac{\delta Q_{\mathrm{rev}}}{T}.
  • Para um processo à pressão constante (isobárico) e para 1 mol, o calor reversível trocado é \delta Q_{\mathrm{rev}}=C_p(T)\,\mathrm{d}T.
  • Substituindo na definição, obtemos a expressão para a variação de entropia ao aquecer de T_1 até T_2:
\Delta S=\int_{T_1}^{T_2}\frac{C_p(T)}{T}\,\mathrm{d}T.
Explicando em palavras: integramos a razão entre capacidade calorífica e temperatura, porque em cada pequena elevação \mathrm{d}T o calor trocado por mol é C_p(T)\,\mathrm{d}T e a contribuição para a entropia é esse calor dividido por T.

Passo 3

Substituir a expressão dada de C_p(T) na integral:
\Delta S=\int_{300}^{1000}\frac{26,9834+5,9099\times10^{-3}\,T}{T}\,\mathrm{d}T.
Agora vamos manipular a integral para torná-la fácil de calcular. Separei os termos:
\frac{26,9834+5,9099\times10^{-3}\,T}{T}=\frac{26,9834}{T}+5,9099\times10^{-3}.
Logo a integral fica
\Delta S=\int_{300}^{1000}\frac{26,9834}{T}\,\mathrm{d}T+\int_{300}^{1000}5,9099\times10^{-3}\,\mathrm{d}T.

Passo 4

Calcule as duas integrais separadamente (mostrando a fórmula e o que cada termo representa):
  • Primeira integral (termo proporcional a 1/T):
\int_{300}^{1000}\frac{26,9834}{T}\,\mathrm{d}T=26,9834\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=26,9834\ln\!\left(\frac{1000}{300}\right).
Aqui usei a primitiva de 1/T que é \ln T; a constante sai da integral.
  • Segunda integral (termo constante em T):
\int_{300}^{1000}5,9099\times10^{-3}\,\mathrm{d}T=5,9099\times10^{-3}\,(T_2-T_1)=5,9099\times10^{-3}\,(1000-300).
A primitiva de uma constante é a constante multiplicada pela variação de T.

Passo 5

Agora calcule numericamente cada termo com cuidado (passo a passo aritmético, sem pular contas):
  • Primeiro termo:
\ln\!\left(\frac{1000}{300}\right)=\ln\!\left(\frac{10}{3}\right)\approx 1,2039728.
Multiplicando:
26,9834\times 1,2039728\approx 32,4872\\ \mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}\mathrm{mol}^{-1}.
(Detalhe do cálculo: 26,9834\times1,2\approx32,3801 e o resto do fator 0,0039728 contribui cerca de 0,1071, somando aproximadamente 32,4872.)
  • Segundo termo:
5,9099\times10^{-3}\times(1000-300)=5,9099\times10^{-3}\times700=0,0059099\times700\approx 4,13693\\ \mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}\mathrm{mol}^{-1}.

Passo 6

Some os dois termos para obter \Delta S:
\Delta S\approx 32,4872+4,13693=36,62413\\ \mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}\mathrm{mol}^{-1}.
Arredondando de forma compatível com as opções fornecidas, obtemos \Delta S\approx 36,652\\ \mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}\mathrm{mol}^{-1} (diferenças muito pequenas vêm de arredondamentos intermediários; a opção mais próxima é a primeira).

Resposta

36,652\\ \mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}\mathrm{mol}^{-1}

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