Calcule d yd x de y^5=(y-2)^6 x^2 por derivação implícita.

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
y^5 = (y-2)^6,x^2
e pede dydx. Vamos usar derivação implícita, aplicando a regra da cadeia em y e a regra do produto em (y-2)^6x^2.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
ddxl(y^5r) = ddxl((y-2)^6x^2r)
No lado esquerdo, pela regra da cadeia,
ddxl(y^5r) = 5,y^4,dydx
No lado direito, pela regra do produto,
ddxl((y-2)^6x^2r) = (y-2)^6cdot 2x ;+; x^2cdot 6,(y-2)^5,dydx

Passo 3

Igualando as derivadas temos
5,y^4,dydx = 2x,(y-2)^6 ;+; 6,x^2,(y-2)^5,dydx

Passo 4

Agora agrupamos os termos que contêm tfracdydx no mesmo lado:
5,y^4,dydx ;-; 6,x^2,(y-2)^5,dydx = 2x,(y-2)^6
Fatorando tfracdydx:
dydx,l(5,y^4 - 6,x^2,(y-2)^5r) = 2x,(y-2)^6

Passo 5

Basta isolar tfracdydx:
dydx = 2x,(y-2)^65,y^4 - 6,x^2,(y-2)^5

Resposta

dydx = 2x,(y-2)^65,y^4 ;-; 6,x^2,(y-2)^5

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