Obtenha os quatro primeiros termos diferentes de zero da série de Maclaurin da função, Fazendo uma substituição apropriada numa série conhecida e efetuando qualquer operação algébrica que for necessária. Dê o intervalo e o raio de convergência da série.
f(x)=x^21+3 x

Passo 1

O enunciado pede os quatro primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de
f(x)=x^21+3x
e também o intervalo e o raio de convergência. Vamos usar a série geométrica
11 - u = sumn=0^inftyu^n, |u|<1,
fazendo a substituição adequada e depois multiplicando por x^2.

Passo 2

Na expressão 11+3x identificamos 1+3x = 1 - (-3x). Logo, com u = -3x, temos
11+3x = sumn=0^infty(-3x)^n
válido sempre que
| -3x | < 1 Longrightarrow |x| < 13

Passo 3

Multiplicando a expansão acima por x^2, obtemos
f(x) = x^2sumn=0^infty(-3)^nx^n = sumn=0^infty(-3)^nx^n+2
Os quatro primeiros termos diferentes de zero correspondem a n=0,1,2,3, ou seja:
x^2, -3x^3, 9x^4, -27x^5

Passo 4

A condição de convergência veio de |-3x|<1, isto é |x|<tfrac13. Portanto:
o raio de convergência é
R = 13,
e o intervalo de convergência é
(-13,13)

Resposta

x^2,;-3x^3,;9x^4,;-27x^5
Intervalo de convergência: l(-tfrac13,tfrac13r)
Raio de convergência: R=tfrac13

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