Exercício 1: Calcule as integrais abaixo.
integral0^1 integralx^1 sen(y^2) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^1integralx^1sinl(y^2r),dy,dx
O conteúdo envolvido é troca de ordem de integração em integrais duplas e integração por substituição.

Passo 2

Primeiro, descrevemos a região de integração DsubsetR^2 dada por
0<= x<=1, x<= y<=1
Ao inverter a ordem, para cada y entre 0 e 1, x varia de 0 até y. Logo a integral vira
integral0^1integral0^ysinl(y^2r),dx,dy

Passo 3

Na nova ordem, a integral interna em x é simples, pois sin(y^2) independe de x:
integral0^ysinl(y^2r),dx =sinl(y^2r)integral0^ydx =y,sinl(y^2r)
Assim a integral passa a ser
integral0^1y,sinl(y^2r),dy

Passo 4

Para calcular
integral0^1y,sinl(y^2r),dy
fazemos a substituição u=y^2, então du=2y,dy e y,dy=tfrac12,du. Quando y=0, u=0; quando y=1, u=1. Isso dá
integral0^1y,sinl(y^2r),dy =12integral0^1sin(u),du =12l[-cos(u)r]0^1 =12l(1-cos(1)r)

Resposta

1-cos(1)2

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