A temperatura na superfície do planeta Nárnia é dada pela função
em que
são a posição do ponto da superfície com base em um sistema de coordenadas que tem como origem o centro do planeta e unidade de medida de distância o raio planetário, de modo que a superfície do planeta são justamente os pontos
com
. Encontre os pontos da superfície do planeta onde a temperatura é mínima.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma função que representa a temperatura na superfície do planeta Nárnia:
Aqui,
,
e
são as coordenadas de um ponto na superfície do planeta, que satisfazem a equação da esfera:
O que a gente precisa fazer é encontrar quais pontos nessa superfície fazem a temperatura
ser mínima. Para resolver isso, vamos usar um método de otimização com restrições chamado Multiplicadores de Lagrange. Ele ajuda a encontrar os extremos (mínimos ou máximos) de uma função sujeita a uma condição específica, que nesse caso é a equação da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os Multiplicadores de Lagrange. Basicamente, quando temos uma função que queremos otimizar (maximizar ou minimizar) sujeita a uma restrição, o método cria uma nova função chamada Lagrangiana que combina a função original e a restrição. A equação da Lagrangiana para o nosso caso fica assim:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange. A ideia é encontrar os pontos onde as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a
,
,
e
são iguais a zero.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais da Lagrangiana e igualá-las a zero:
- Derivada em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Então:
- Derivada em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Então:
- Derivada em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Então:
- Derivada em relação a
(a restrição):
Ou seja:
Agora, temos um sistema de quatro equações para resolver: (1), (2), (3) e (4).
Passo 4
Vamos analisar a equação (3):
Podemos fatorar
:
Isso nos dá duas possibilidades:
Vamos considerar essas duas situações separadamente.
Caso 1:
Com
, a equação da esfera (4) fica:
Agora, vamos usar as equações (1) e (2):
Equação (1):
Equação (2):
Podemos fatorar
na equação (2):
Isso dá duas possibilidades:
a.
b.
Vamos analisar essas subpossibilidades.
Subcaso 1a:
Com
, e
, da equação da esfera:
Então, temos dois pontos:
Subcaso 1b:
Mas sabemos que
, então:
Agora, substituindo
na equação (1):
Simplificando:
Agora, como
, podemos expressar
e substituir na equação acima:
Expandindo:
Isso é impossível, então não há soluções nesse subcaso.
Conclusão do Caso 1:
Os únicos pontos com
são
e
.
Passo 5
Caso 2:
Agora, vamos considerar a outra possibilidade da equação (3), onde
.
Vamos usar essa relação nas equações (1) e (2):
Equação (1):
Substituindo
:
Equação (2):
Substituindo
:
Podemos fatorar
:
Isso nos dá duas possibilidades:
a.
b.
Vamos analisar essas subpossibilidades.
Subcaso 2a:
Com
, a equação da esfera fica:
E a equação (1’) fica:
Usando
:
Expandindo:
Agora, encontramos
. Então,
, assim
.
Então, temos dois pontos:
Subcaso 2b:
Mas, pela equação da esfera,
, então isso só seria possível se
, o que é impossível. Portanto, não há soluções nesse subcaso.
Conclusão do Caso 2:
Os pontos encontrados são
.
Passo 6
Agora, vamos resumir todos os pontos que encontramos onde a temperatura pode ser mínima:
Para determinar quais desses pontos realmente correspondem aos mínimos da temperatura, vamos calcular
em cada um deles.
1.
:
2.
:
3.
:
Calculando cada termo:
4.
:
Como está elevado ao quarto poder, o sinal de
não afeta o resultado. Então:
Como
Resposta
Os pontos na superfície do planeta Nárnia onde a temperatura é mínima são: