A temperatura na superfície do planeta Nárnia é dada pela função
T=x+x^4+y^4+2 x^2 y^2-z^4
em que x, y, z são a posição do ponto da superfície com base em um sistema de coordenadas que tem como origem o centro do planeta e unidade de medida de distância o raio planetário, de modo que a superfície do planeta são justamente os pontos (x, y, z) com x^2+y^2+z^2=1. Encontre os pontos da superfície do planeta onde a temperatura é mínima.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma função que representa a temperatura na superfície do planeta Nárnia:
T = x + x^4 + y^4 + 2x^2y^2 - z^4
Aqui, x, y e z são as coordenadas de um ponto na superfície do planeta, que satisfazem a equação da esfera:
x^2 + y^2 + z^2 = 1
O que a gente precisa fazer é encontrar quais pontos nessa superfície fazem a temperatura T ser mínima. Para resolver isso, vamos usar um método de otimização com restrições chamado Multiplicadores de Lagrange. Ele ajuda a encontrar os extremos (mínimos ou máximos) de uma função sujeita a uma condição específica, que nesse caso é a equação da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os Multiplicadores de Lagrange. Basicamente, quando temos uma função que queremos otimizar (maximizar ou minimizar) sujeita a uma restrição, o método cria uma nova função chamada Lagrangiana que combina a função original e a restrição. A equação da Lagrangiana para o nosso caso fica assim:
L(x, y, z, lambda) = T - lambda (x^2 + y^2 + z^2 - 1)
Aqui, lambda é o multiplicador de Lagrange. A ideia é encontrar os pontos onde as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a x, y, z e lambda são iguais a zero.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da Lagrangiana e igualá-las a zero:
  1. Derivada em relação a x:
partial Lpartial x = partial Tpartial x - lambda cdot 2x = 0
Derivando T em relação a x:
partial Tpartial x = 1 + 4x^3 + 4xy^2
Então:
1 + 4x^3 + 4xy^2 - 2lambda x = 0 (1)
  1. Derivada em relação a y:
partial Lpartial y = partial Tpartial y - lambda cdot 2y = 0
Derivando T em relação a y:
partial Tpartial y = 4y^3 + 4x^2y
Então:
4y^3 + 4x^2y - 2lambda y = 0 (2)
  1. Derivada em relação a z:
partial Lpartial z = partial Tpartial z - lambda cdot 2z = 0
Derivando T em relação a z:
partial Tpartial z = -4z^3
Então:
-4z^3 - 2lambda z = 0 (3)
  1. Derivada em relação a lambda (a restrição):
partial Lpartial lambda = -(x^2 + y^2 + z^2 - 1) = 0
Ou seja:
x^2 + y^2 + z^2 = 1 (4)
Agora, temos um sistema de quatro equações para resolver: (1), (2), (3) e (4).

Passo 4

Vamos analisar a equação (3):
-4z^3 - 2lambda z = 0
Podemos fatorar z:
z(-4z^2 - 2lambda) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. z = 0
  2. -4z^2 - 2lambda = 0 Rightarrow lambda = -2z^2
Vamos considerar essas duas situações separadamente.
Caso 1: z = 0
Com z = 0, a equação da esfera (4) fica:
x^2 + y^2 = 1
Agora, vamos usar as equações (1) e (2):
Equação (1):
1 + 4x^3 + 4xy^2 - 2lambda x = 0 (1)
Equação (2):
4y^3 + 4x^2y - 2lambda y = 0 (2)
Podemos fatorar y na equação (2):
y(4y^2 + 4x^2 - 2lambda) = 0
Isso dá duas possibilidades:
a. y = 0
b. 4y^2 + 4x^2 - 2lambda = 0 Rightarrow lambda = 2x^2 + 2y^2
Vamos analisar essas subpossibilidades.
Subcaso 1a: y = 0
Com y = 0, e z = 0, da equação da esfera:
x^2 = 1 Rightarrow x = pm 1
Então, temos dois pontos:
  • (1, 0, 0)
  • (-1, 0, 0)
Subcaso 1b: lambda = 2x^2 + 2y^2
Mas sabemos que x^2 + y^2 = 1, então:
lambda = 2(x^2 + y^2) = 2 times 1 = 2
Agora, substituindo lambda = 2 na equação (1):
1 + 4x^3 + 4xy^2 - 4x = 0
Simplificando:
4x^3 + 4xy^2 - 4x + 1 = 0
Agora, como x^2 + y^2 = 1, podemos expressar y^2 = 1 - x^2 e substituir na equação acima:
4x^3 + 4x(1 - x^2) - 4x + 1 = 0
Expandindo:
4x^3 + 4x - 4x^3 - 4x + 1 = 0 Rightarrow 1 = 0
Isso é impossível, então não há soluções nesse subcaso.
Conclusão do Caso 1:
Os únicos pontos com z = 0 são (1, 0, 0) e (-1, 0, 0).

Passo 5

Caso 2: lambda = -2z^2
Agora, vamos considerar a outra possibilidade da equação (3), onde lambda = -2z^2.
Vamos usar essa relação nas equações (1) e (2):
Equação (1):
1 + 4x^3 + 4xy^2 - 2lambda x = 0
Substituindo lambda = -2z^2:
1 + 4x^3 + 4xy^2 - 2(-2z^2)x = 0 Rightarrow 1 + 4x^3 + 4xy^2 + 4x z^2 = 0 (1')
Equação (2):
4y^3 + 4x^2y - 2lambda y = 0
Substituindo lambda = -2z^2:
4y^3 + 4x^2y - 2(-2z^2)y = 0 Rightarrow 4y^3 + 4x^2y + 4y z^2 = 0
Podemos fatorar y:
y(4y^2 + 4x^2 + 4z^2) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
a. y = 0
b. 4y^2 + 4x^2 + 4z^2 = 0 Rightarrow y^2 + x^2 + z^2 = 0
Vamos analisar essas subpossibilidades.
Subcaso 2a: y = 0
Com y = 0, a equação da esfera fica:
x^2 + z^2 = 1
E a equação (1’) fica:
1 + 4x^3 + 4x z^2 = 0
Usando z^2 = 1 - x^2:
1 + 4x^3 + 4x(1 - x^2) = 0
Expandindo:
1 + 4x^3 + 4x - 4x^3 = 0 Rightarrow 4x + 1 = 0 Rightarrow x = -14
Agora, encontramos x = -14. Então, z^2 = 1 - (-14)^2 = 1 - 116 = 1516, assim z = pm raiz154.
Então, temos dois pontos:
  • (-14, 0, raiz154)
  • (-14, 0, -raiz154)
Subcaso 2b: y^2 + x^2 + z^2 = 0
Mas, pela equação da esfera, x^2 + y^2 + z^2 = 1, então isso só seria possível se 1 = 0, o que é impossível. Portanto, não há soluções nesse subcaso.
Conclusão do Caso 2:
Os pontos encontrados são (-14, 0, pm raiz154).

Passo 6

Agora, vamos resumir todos os pontos que encontramos onde a temperatura pode ser mínima:
  1. (1, 0, 0)
  2. (-1, 0, 0)
  3. (-14, 0, raiz154)
  4. (-14, 0, -raiz154)
Para determinar quais desses pontos realmente correspondem aos mínimos da temperatura, vamos calcular T em cada um deles.
1. (1, 0, 0):
T = 1 + 1^4 + 0^4 + 2 cdot 1^2 cdot 0^2 - 0^4 = 1 + 1 + 0 + 0 - 0 = 2
2. (-1, 0, 0):
T = -1 + (-1)^4 + 0^4 + 2 cdot (-1)^2 cdot 0^2 - 0^4 = -1 + 1 + 0 + 0 - 0 = 0
3. (-14, 0, raiz154):
x = -14, y = 0, z = raiz154
T = -14 + (-14)^4 + 0^4 + 2 cdot (-14)^2 cdot 0^2 - (raiz154)^4
Calculando cada termo:
-14 + 1256 + 0 + 0 - 225256 = -14 - 224256 = -14 - 78 = -98 = -1,125
4. (-14, 0, -raiz154):
Como z está elevado ao quarto poder, o sinal de z não afeta o resultado. Então:
T = -1,125

Resposta

Os pontos na superfície do planeta Nárnia onde a temperatura é mínima são:
(-14, 0, raiz154) e (-14, 0, -raiz154)

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