Calcule a derivada.
a(theta)=lang<= cos 3theta, sin^2 theta, tan theta rang<=.

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular a derivada do vetor a(theta) = lang<= cos 3theta, sin^2 theta, tan theta rang<=. Essa questão está relacionada ao cálculo de derivadas de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas básicas e aplicar as regras de derivação adequadas.

Passo 2

Vamos começar derivando a primeira componente do vetor, que é cos 3theta. Sabemos que a derivada de cos u em relação a theta é -sin u cdot dudtheta. Aqui, u = 3theta, então dudtheta = 3.

Passo 3

Aplicando a regra que mencionei, a derivada de cos 3theta fica:
ddtheta cos 3theta = -sin 3theta cdot 3 = -3sin 3theta

Passo 4

Agora vamos derivar a segunda componente, que é sin^2 theta. Para isso, usamos a regra da cadeia. Primeiro, consideramos sin theta como uma função interna e elevamos ao quadrado.

Passo 5

A derivada de sin^2 theta é:
ddtheta sin^2 theta = 2sin theta cdot cos theta = 2sin theta cos theta
Isso porque a derivada de sin theta é cos theta, e a regra da cadeia nos diz para multiplicar pelas derivadas das partes internas.

Passo 6

Por último, vamos derivar a terceira componente, que é tan theta. Sabemos que a derivada de tan theta é sec^2 theta.

Passo 7

Agora, juntando tudo, a derivada do vetor a(theta) é:
a'(theta) = lang<= -3sin 3theta, , 2sin theta cos theta, , sec^2 theta rang<=

Resposta

a'(theta) = lang<= -3sin 3theta, , 2sin theta cos theta, , sec^2 theta rang<=

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