Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas:
y=x, y=x^3.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas ;y=x; e ;y=x^3.
O conteúdo envolvido é cálculo de área entre curvas via integrais definidas. Para resolver, vamos precisar:
– Determinar os pontos de interseção de ;y=x e ;y=x^3.
– Identificar em cada intervalo qual curva está acima da outra.
– Montar e calcular a integral da diferença entre as funções.

Passo 2

Calculamos os pontos de interseção resolvendo
x = x^3
x^3-x = 0
x(x^2-1)=0
Logo os pontos são ;x=-1,;0,;1.

Passo 3

Precisamos ver quem é a função superior em cada intervalo de interseção. Note que
x - x^3 = x(1 - x^2),
– Para -1 < x < 0 temos 1 - x^2>0 mas x<0, então x - x^3<0, ou seja ;x^3>x.
– Para 0 < x < 1 temos x>0 e 1 - x^2>0, então x - x^3>0, isto é ;x>x^3.

Passo 4

A área total é a soma das áreas nos dois intervalos, dada por
A = integral-1^0l(x^3-xr),dx ;+;integral0^1l(x - x^3r),dx

Passo 5

Calculamos cada integral separadamente. Para a primeira,
integral (x^3-x),dx = x^44-x^22,
avaliando de -1 a 0:
l[x^44-x^22r]-1^0 = l(0-0r)-l(tfrac14-tfrac12r) = 14
Para a segunda,
integral (x - x^3),dx = x^22-x^44,
avaliando de 0 a 1:
l[x^22-x^44r]0^1 = l(tfrac12-tfrac14r)-0 = 14

Passo 6

Somando as duas partes, obtemos
A = 14 + 14 = 12

Resposta

12

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