Classificar as E.D.O em lineares ou não lineares e dê a ordem de cada equação:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar uma Equação Diferencial Ordinária (E.D.O) como linear ou não linear e também determinar a ordem dela. A matéria que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais, especificamente sobre como identificar se uma equação é linear e qual é a sua ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que torna uma E.D.O linear e como determinar a ordem dela.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação que a gente tem:
2 cdot[d yd t]^4 + 2 y = t

Passo 3

Agora, vamos entender o que é uma E.D.O linear. Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita na forma:
an(t) d^n ydt^n + an-1(t) d^n-1 ydt^n-1 + dots + a1(t) dydt + a0(t) y = g(t)
Onde os coeficientes ai(t) são funções de t e g(t) é uma função conhecida. O importante aqui é que as potências das derivadas e de y devem ser de primeiro grau, ou seja, não podem estar elevadas a nenhuma potência além de 1.

Passo 4

Vamos analisar a nossa equação:
2 cdot[d yd t]^4 + 2 y = t
Aqui, a derivada d yd t está elevada à quarta potência, que é 4. Então, a gente tem [d yd t]^4. Isso significa que a equação não está na forma linear, já que uma E.D.O linear não permite que as derivadas sejam elevadas a potências maiores que 1.

Passo 5

Agora, vamos determinar a ordem da equação. A ordem de uma E.D.O é definida pelo maior grau da derivada presente na equação. Na nossa equação, a derivada é dydt, que é a primeira derivada, mas ela está elevada à quarta potência.
Então, apesar de ser uma derivada de primeira ordem, a presença da potência 4 faz com que a ordem da equação seja 4.

Resposta

A E.D.O 2 cdot[d yd t]^4 + 2 y = t é não linear e é uma equação de quarta ordem.

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