Calcule a derivada de:
f(x)=raiz2+raiz2-x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada de f(x) = raiz2 + raiz2 - x . Esse exercício está na matéria de cálculo diferencial, mais especificamente, vamos usar a regra da cadeia para derivar funções compostas. A regra da cadeia ajuda a encontrar a derivada de funções que estão dentro de outras funções. Então, vamos precisar identificar as funções que estão “dentro” umas das outras e aplicar a regra passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização das camadas que vamos derivar:
f(x) = raiz2 + raiz2 - x
Aqui, podemos ver que temos uma função dentro de outra função. Vamos identificar essas camadas:
  1. Função externa: raizu , onde u = 2 + raiz2 - x
  2. Função média: 2 + v , onde v = raiz2 - x
  3. Função interna: raiz2 - x

Passo 3

Agora, vamos derivar cada camada começando da função mais externa para a mais interna.
  1. Derivada da função externa raizu :
ddu raizu = 12raizu
  1. Derivada da função média 2 + v :
A derivada de 2 é 0, e a derivada de v em relação a v é 1:
ddv (2 + v) = 1
  1. Derivada da função interna raiz2 - x :
ddx raiz2 - x = 12raiz2 - x cdot (-1) = -12raiz2 - x

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia, multiplicando as derivadas de cada camada:
f'(x) = ddu raizu cdot ddv (2 + v) cdot ddx raiz2 - x
Substituindo as derivadas que calculamos:
f'(x) = 12raiz2 + raiz2 - x cdot 1 cdot (-12raiz2 - x)

Passo 5

Simplificando a expressão:
f'(x) = -12raiz2 + raiz2 - x cdot 12raiz2 - x
f'(x) = -14 raiz2 + raiz2 - x cdot raiz2 - x

Resposta

A derivada de f(x) = raiz2 + raiz2 - x é:
f'(x) = -14 raiz2 + raiz2 - x cdot raiz2 - x

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