Mostre que lim x 0 x^2 cdot sen 1x=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: limx 0 x^2 cdot sin 1x = 0 .
Aqui, estamos trabalhando com Cálculo, mais especificamente com limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função seno se comporta e aplicar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Aperto).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função seno tem um comportamento bem conhecido: para qualquer número real t , temos que -1 <= sin t <= 1 .
Então, no nosso caso, t = 1x . Portanto:
-1 <= sin ( 1x ) <= 1

Passo 3

Agora, vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por x^2 . Como x^2 é sempre positivo (já que é um número ao quadrado), a desigualdade mantém as mesmas direções:
- x^2 <= x^2 cdot sin ( 1x ) <= x^2

Passo 4

O próximo passo é analisar o que acontece com -x^2 e x^2 quando x se aproxima de 0.
Sabemos que:
limx 0 -x^2 = 0 e limx 0 x^2 = 0

Passo 5

De acordo com o Teorema do Confronto, se uma função está sempre entre duas outras funções que têm o mesmo limite em um ponto, então essa função também tem esse limite nesse ponto.
No nosso caso, x^2 cdot sin 1x está entre -x^2 e x^2 , e ambos os limites são 0 quando x se aproxima de 0.

Passo 6

Portanto, pelo Teorema do Confronto:
limx 0 x^2 cdot sin ( 1x ) = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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