Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
.
Aqui, estamos trabalhando com Cálculo, mais especificamente com limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função seno se comporta e aplicar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Aperto).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função seno tem um comportamento bem conhecido: para qualquer número real
, temos que
.
Então, no nosso caso,
. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por
. Como
é sempre positivo (já que é um número ao quadrado), a desigualdade mantém as mesmas direções:
Passo 4
O próximo passo é analisar o que acontece com
e
quando
se aproxima de 0.
Sabemos que:
Passo 5
De acordo com o Teorema do Confronto, se uma função está sempre entre duas outras funções que têm o mesmo limite em um ponto, então essa função também tem esse limite nesse ponto.
No nosso caso,
está entre
e
, e ambos os limites são 0 quando
se aproxima de 0.
Passo 6
Portanto, pelo Teorema do Confronto:
Resposta
O limite é igual a 0.