Resolva os PVIs dados.
lx^2 y^prime-2 x y=3 y^4 y(1)=12

Passo 1

Temos o PVI
x^2y' - 2xy = 3y^4, y(1)=tfrac12
Este é um ODE de primeira ordem não linear do tipo Bernoulli, pois pode ser posto na forma
y' + P(x),y = Q(x),y^n
Vamos resolver usando a transformação apropriada.

Passo 2

Dividindo a equação por x^2, obtemos
y' - 2xy = 3x^2,y^4
Isto é uma equação de Bernoulli com
P(x)=-2x, Q(x)=3x^2, n=4
Fazemos a substituição
z = y^1-n = y^-3

Passo 3

Calculamos a derivada de z:
z' = -3,y^-4,y'
Multiplicando a equação original por -3y^-4, temos
-3y^-4y' + 6xy^-3 = -9x^2,
ou seja
z' + 6xz = -9x^2

Passo 4

Esta é uma EDO linear em z. O fator integrante é
mu(x) = expl(integral tfrac6xdxr) = x^6
Multiplicando por x^6 e integrando, vem
x^6z = integral -9x^4,dx + C = -95x^5 + C,
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z = -95x + C,x^-6

Passo 5

Usando a condição y(1)=tfrac12, temos
z(1) = l(y(1)r)^-3 = 8 = -tfrac95 + C,
de onde
C = 8 + 95 = 495
Assim
z = y^-3 = -95x + 495,x^-6

Passo 6

Voltando à y:
y^-3 = 49 - 9x^55x^6 Longrightarrow y^3 = 5x^649 - 9x^5 Longrightarrow y = gl(5x^649 - 9x^5gr)^!1/3

Resposta

y(x) = l(tfrac5x^649 - 9x^5r)^!1/3

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