Calcule a derivada.
r(s)=lang<= e^3s, e^-s, s^4rang<=.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para calcular a derivada de uma função vetorial. A função dada é r(s)=lang<= e^3s, e^-s, s^4rang<=. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a derivação de funções vetoriais. Basicamente, vamos derivar cada componente da função separadamente para encontrar a derivada total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função vetorial como r(s) tem várias componentes, no caso, três: e^3s, e^-s e s^4. Para encontrar a derivada r'(s), a gente deriva cada uma dessas componentes em relação a s.

Passo 3

Vamos começar com a primeira componente: e^3s. A derivada de uma função exponencial e^k s, onde k é uma constante, é k e^k s. Então, para e^3s, a derivada será 3 e^3s.

Passo 4

Agora, a segunda componente: e^-s. Usando a mesma regra das exponenciais, temos que a derivada de e^-s é -1 cdot e^-s, ou seja, -e^-s.

Passo 5

Por último, a terceira componente: s^4. A derivada de s^n em relação a s é n s^n-1. Então, para s^4, a derivada será 4 s^3.

Resposta

Portanto, a derivada da função vetorial é:
r'(s) = lang<= 3 e^3s, -e^-s, 4 s^3 rang<=

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