Calcule o limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de um vetor conforme
se aproxima de 0. A matéria envolvida aqui são os limites de funções vetoriais. Para resolver, vamos analisar cada componente do vetor separadamente e aplicar as técnicas de cálculo de limites que conhecemos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a componente
:
. Sabemos que quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0, então precisamos lembrar de uma regra importante dos limites:
Mas aqui temos
, que é o inverso disso. Então,
Passo 3
Agora, vamos para a componente
:
, que é a função arco-tangente. Sabemos que a função
é contínua em todos os pontos, então podemos simplesmente substituir
por 0:
Passo 4
Por fim, temos a componente
:
. Utilizando a regra dos limites para funções trigonométricas, sabemos que:
onde
é uma constante. Aqui,
, então:
Resposta
Portanto, o limite dado é: