Calcule o limite.
lim t 0(tsin t i+tan^-1 t j+sin 2t k)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de um vetor conforme t se aproxima de 0. A matéria envolvida aqui são os limites de funções vetoriais. Para resolver, vamos analisar cada componente do vetor separadamente e aplicar as técnicas de cálculo de limites que conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a componente i : tsin t. Sabemos que quando t se aproxima de 0, sin t também se aproxima de 0, então precisamos lembrar de uma regra importante dos limites:
limt to 0 sin tt = 1
Mas aqui temos tsin t , que é o inverso disso. Então,
limt to 0 tsin t = 1limt to 0 sin tt = 11 = 1

Passo 3

Agora, vamos para a componente j : tan^-1 t , que é a função arco-tangente. Sabemos que a função tan^-1 t é contínua em todos os pontos, então podemos simplesmente substituir t por 0:
limt to 0 tan^-1 t = tan^-1 0 = 0

Passo 4

Por fim, temos a componente k : sin 2t . Utilizando a regra dos limites para funções trigonométricas, sabemos que:
limt to 0 sin kt = 0
onde k é uma constante. Aqui, k = 2 , então:
limt to 0 sin 2t = 0

Resposta

Portanto, o limite dado é:
lim t 0(tsin t i+tan^-1 t j+sin 2t k) = 1,i + 0,j + 0,k = i

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