Nos itens abaixo, (i) encontre o domínio da função; (ii) descreva as curvas de nível da função; (iii) encontre a fronteira do domínio da função; (iv) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas e (v) decida se o domínio é limitado ou não limitado.
f(x, y)=y-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisar a função f(x, y) = y - x em vários aspectos. Vamos precisar entender sobre domínio de função, curvas de nível, fronteira de domínio, regiões abertas ou fechadas, e se o domínio é limitado ou não. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares (x, y) para os quais a função está definida. Olhando para f(x, y) = y - x , não temos nenhuma restrição como divisão por zero ou raízes quadradas de números negativos. Portanto, a função está definida para todos os valores reais de x e y.

Passo 3

Agora, vamos descrever as curvas de nível da função. Curvas de nível são onde a função assume um valor constante, ou seja, f(x, y) = c , onde c é uma constante. Então:
y - x = c implies y = x + c
Isso representa linhas retas com inclinação 1 e intercepto no eixo y igual a c. Cada valor de c gera uma linha paralela às outras.

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a fronteira do domínio. Como o domínio é todo o plano R^2, a fronteira seria os pontos que estão “na borda” desse conjunto. Porém, como o plano não tem borda, a fronteira do domínio é vazia.

Passo 5

Agora, vamos determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas. Uma região aberta é aquela que não inclui sua fronteira, e uma fechada inclui a fronteira. Como nosso domínio é todo o plano e não possui fronteira, tecnicamente, ele é tanto aberto quanto fechado. Mas, na prática, dizemos que o plano R^2 é uma região aberta.

Passo 6

Por último, vamos decidir se o domínio é limitado ou não limitado. Um domínio é limitado se está contido dentro de algum círculo de raio finito. Como o domínio aqui é todo o plano R^2, ele se estende infinitamente em todas as direções. Portanto, o domínio é não limitado.

Resposta

  1. Domínio: R^2 (todos os pares (x, y) reais).
  2. Curvas de nível: Linhas retas da forma y = x + c .
  3. Fronteira do domínio: Não existe (vazia).
  4. Região: Aberta.
  5. Limitado: Não limitado.

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