Nos itens abaixo, (i) encontre o domínio da função; (ii) descreva as curvas de nível da função; (iii) encontre a fronteira do domínio da função; (iv) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas e (v) decida se o domínio é limitado ou não limitado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisar a função
em vários aspectos. Vamos precisar entender sobre domínio de função, curvas de nível, fronteira de domínio, regiões abertas ou fechadas, e se o domínio é limitado ou não. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. Olhando para
, não temos nenhuma restrição como divisão por zero ou raízes quadradas de números negativos. Portanto, a função está definida para todos os valores reais de
e
.
Passo 3
Agora, vamos descrever as curvas de nível da função. Curvas de nível são onde a função assume um valor constante, ou seja,
, onde
é uma constante. Então:
Isso representa linhas retas com inclinação 1 e intercepto no eixo
igual a
. Cada valor de
gera uma linha paralela às outras.
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a fronteira do domínio. Como o domínio é todo o plano
, a fronteira seria os pontos que estão “na borda” desse conjunto. Porém, como o plano não tem borda, a fronteira do domínio é vazia.
Passo 5
Agora, vamos determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas. Uma região aberta é aquela que não inclui sua fronteira, e uma fechada inclui a fronteira. Como nosso domínio é todo o plano e não possui fronteira, tecnicamente, ele é tanto aberto quanto fechado. Mas, na prática, dizemos que o plano
é uma região aberta.
Passo 6
Por último, vamos decidir se o domínio é limitado ou não limitado. Um domínio é limitado se está contido dentro de algum círculo de raio finito. Como o domínio aqui é todo o plano
, ele se estende infinitamente em todas as direções. Portanto, o domínio é não limitado.
Resposta
- Domínio:
(todos os pares reais). - Curvas de nível: Linhas retas da forma
. - Fronteira do domínio: Não existe (vazia).
- Região: Aberta.
- Limitado: Não limitado.