Calcule as seguintes integrais:
integral0^2 integral-raiz2 x-x^2^raiz2 x-x^2 integral0^x^2+y^2(x^2+y^2) d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
I = integral0^2 integral-raiz2x - x^2^raiz2x - x^2 integral0^x^2 + y^2 (x^2 + y^2) , dz , dy , dx
O conteúdo é integração múltipla e mudança para coordenadas polares.

Passo 2

Integramos primeiro em z. Como o integrando não depende de z,
integral0^x^2+y^2 (x^2+y^2),dz = (x^2+y^2)l[zr]0^x^2+y^2 = (x^2+y^2)^2
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I = integral duplaD (x^2+y^2)^2,dA,
onde D é a projeção no plano xy.

Passo 3

O domínio D é dado por
0<= x<=2, -raiz2x-x^2<= y<=raiz2x-x^2,
que corresponde ao círculo (x-1)^2+y^2<=1. Em coordenadas polares
x = rcostheta, y = rsintheta,
essa região vira
r<=2costheta, -tfracpi2<=theta<=tfracpi2

Passo 4

Em polares temos x^2+y^2=r^2 e dA = r,dr,dtheta, então
I = integral-pi/2^pi/2integral0^2costheta (r^2)^2,r,dr,dtheta = integral-pi/2^pi/2integral0^2costheta r^5,dr,dtheta
Fazendo a integral em r,
integral0^2costheta r^5,dr = (2costheta)^66 = 323cos^6theta,
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I = 323integral-pi/2^pi/2cos^6theta,dtheta

Passo 5

Como cos^6theta é função par,
integral-pi/2^pi/2cos^6theta,dtheta = 2integral0^pi/2cos^6theta,dtheta
Usando a fórmula para potência par,
integral0^pi/2cos^6theta,dtheta = 5pi32,
então
I = 323cdot 2cdot 5pi32 = 10pi3

Resposta

10pi3

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