Calcule a derivada de f(x)=x^2|x|^3

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^2,lvert xrvert^3
O conteúdo envolvido é derivação de potências e de valor absoluto. Para resolver, vamos lembrar que lvert xrvert pode ser escrito de forma piecewise e então aplicar a regra de potência em cada ramo; por fim, checar a derivada em x=0.

Passo 2

Recordando a definição de valor absoluto:
lvert xrvert = x, & x>=0, -,x, & x<0
Logo
lvert xrvert^3 = x^3, & x>=0, (-x)^3 = -,x^3, & x<0

Passo 3

Substituindo em f(x)=x^2,lvert xrvert^3, obtemos
f(x)= x^2cdot x^3 = x^5, & x>=0, x^2cdot(-x^3) = -,x^5, & x<0

Passo 4

Para x>0, f(x)=x^5. Aplicando a regra de potência,
f'(x)=5,x^4, x>0

Passo 5

Para x<0, f(x)=-,x^5. Novamente pela regra de potência,
f'(x)=-5,x^4, x<0

Passo 6

Em x=0, usamos o limite
f'(0)=limhto0f(h)-f(0)h =limhto0f(h)h
Para h>0 temos f(h)/h=h^4to0 e para h<0 temos f(h)/h=-h^4to0. Logo
f'(0)=0

Resposta

f'(x)= 5,x^4, & x>0, 0, & x=0, -5,x^4, & x<0

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