Verifique se integral0^1 1raizsen x d x converge ou não.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência de
integral0^11raizsin x,dx
Trata-se de uma integral imprópria porque em x=0 temos sin0=0 e, portanto, o integrando 1raizsin x fica singular. Para resolver, vamos usar o teste de comparação, comparando com a função tfrac1raizx, cujo comportamento perto de zero conhecemos.

Passo 2

Analisamos o limite comparativo próximo a zero:
limxto0^+1raizsin x1raizx =limxto0^+raizxsin x
Como limxto0sin xx=1, segue
limxto0^+raizxsin x=1,
ou seja, para x pequeno
1raizsin xsim1raizx.

Passo 3

Sabemos que
integral0^11raizx,dx
é convergente (é uma integral p com p=tfrac12<1). Pelo teste de comparação limite, a parte de 0 até algum varepsilon>0 da nossa integral também converge. Já de varepsilon até 1 não há problema, pois sin x fica longe de zero e tfrac1raizsin x é contínua e limitada em [varepsilon,1].

Resposta

A integral integral0^11raizsin x,dx converge.

Exercícios relacionados