Encontre os valores de e para que a função seja derivável em 2. Além disso, faça o gráfico de f.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
f(x)= x^2-1, & x<=2, a,x+b, & x>2,
e pede que f seja diferenciável em x=2. Para isso precisamos garantir (i) continuidade em x=2 e (ii) igualdade das derivadas laterais em x=2.
Passo 2
Condição de continuidade: limxto2^-f(x)=f(2)=2^2-1=3
e limxto2^+f(x)=2a+b.
Portanto,
2a + b = 3
Passo 3
Condição de derivabilidade: f'-(2)=ddx(x^2-1)|x=2=2cdot2=4
e f'+(2)=ddx(a x+b)|x=2=a.
Igualando as derivadas,
a = 4
Passo 4
Substituindo a=4 na condição de continuidade:
2cdot4 + b = 3 Longrightarrow 8 + b = 3 Longrightarrow b = -5
Passo 5
Esboço do gráfico:
Para x<=2, é a parábola y = x^2 - 1. Em x=2 ela atinge o ponto (2,3).
Para x>2, é a reta y = 4x - 5, que em x=2 também vale 4cdot2-5=3 e tem inclinação 4.
Como as funções coincidem em valor e derivada em x=2, a reta é tangente à parábola naquele ponto.
Resposta
a = 4, b = -5
O gráfico de f é a parábola y=x^2-1 para x<=2 e a reta tangente y=4x-5 para x>2.