Calcule a derivada de
e)

Passo 1

A questão pede a derivada de j(x)=(x^2+1)^5sin(raize^x^3). Vamos usar regra do produto e regra da cadeia, além das derivadas de potência, seno, raiz e exponencial.

Passo 2

Definimos u(x)=(x^2+1)^5 e v(x)=sin(w(x)) com w(x)=raize^x^3=(e^x^3)^1/2. Pela regra da potência e cadeia,
u'(x)=5(x^2+1)^4cdot(2x)=10x(x^2+1)^4

Passo 3

Agora derivamos v(x)=sin(w). Primeiro encontramos w'(x):
w'(x)=12(e^x^3)^-1/2cdotddx(e^x^3)=12(e^x^3)^-1/2cdot e^x^3cdot3x^2=3x^22(e^x^3)^1/2

Passo 4

Em seguida, pela regra da cadeia em v(x)=sin(w):
v'(x)=cos(w)cdot w'=cos(raize^x^3)cdot3x^22raize^x^3

Passo 5

Aplicamos então a regra do produto:
j'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

Passo 6

Substituindo as expressões de u,u',v,v' e organizando, temos:
j'(x)=10x(x^2+1)^4,sin(raize^x^3)+ (x^2+1)^5cdot3x^22raize^x^3,cos(raize^x^3)

Resposta

j'(x)=10x(x^2+1)^4,sinl(raize^x^3r)+3x^22(x^2+1)^5raize^x^3,cosl(raize^x^3r)

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