Calcule a derivada de
d)
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Passo 1
O enunciado pede a derivada de l(x)=e^{(\sqrt{1+\ln(x)})}+\ln(x). Vamos usar a regra da soma, a derivada de exp(x), a derivada de ln(x) e a regra da cadeia.
Passo 2
Para a parte e^{(\sqrt{1+\ln(x)})}, defina u(x)=\sqrt{1+\ln(x)}. Sabemos que d/dx[e{u(x)}]=e{u(x)}\cdot u’(x) pela regra da cadeia.
Passo 3
Agora calculamos u’(x). Como u(x)=(1+\ln(x))^{1/2}, aplicamos a regra da cadeia de novo:
u’(x)=\frac12(1+\ln(x)){-1/2}\cdot\frac{d}{dx}[1+\ln(x)]=\frac12(1+\ln(x)){-1/2}\cdot\frac1x
u’(x)=\frac12(1+\ln(x)){-1/2}\cdot\frac{d}{dx}[1+\ln(x)]=\frac12(1+\ln(x)){-1/2}\cdot\frac1x
Passo 4
Logo,
l’(x)=e^{\sqrt{1+\ln(x)}}\cdot\frac{1}{2x\sqrt{1+\ln(x)}}+\frac{d}{dx}[\ln(x)]
l’(x)=e^{\sqrt{1+\ln(x)}}\cdot\frac{1}{2x\sqrt{1+\ln(x)}}+\frac{d}{dx}[\ln(x)]
Passo 5
A derivada de \ln(x) é 1/x, então substituímos e obtémse a expressão final.
Passo 6
Simplificando, ficamos com a soma dos dois termos obtidos.