Calcule a derivada de f(x)=(x^3-2 x^2+1) /(x^2-1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^3-2x^2+1x^2-1
O conteúdo é a regra do quociente, que diz como derivar u/v. Vamos identificar u(x) e v(x) e depois aplicar a fórmula.

Passo 2

Seja
u(x)=x^3-2x^2+1, v(x)=x^2-1
A regra do quociente afirma que
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)l(v(x)r)^2

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=3x^2-4x, v'(x)=2x

Passo 4

Aplicando a regra do quociente, obtemos
f'(x) = (3x^2-4x)(x^2-1)-(x^3-2x^2+1),(2x)(x^2-1)^2

Passo 5

Expandindo o numerador:
(3x^2-4x)(x^2-1)=3x^4-4x^3-3x^2+4x, (x^3-2x^2+1)(2x)=2x^4-4x^3+2x
Subtraindo, o numerador vira
3x^4-4x^3-3x^2+4x ;-; l(2x^4-4x^3+2xr) = x^4-3x^2+2x
Logo
f'(x)=x^4-3x^2+2x(x^2-1)^2

Passo 6

Fatorando x^4-3x^2+2x=x(x^3-3x+2)=x(x-1)^2(x+2) e (x^2-1)^2=(x-1)^2(x+1)^2, cancelamos (x-1)^2:
f'(x) = x(x-1)^2(x+2)(x-1)^2(x+1)^2 = x(x+2)(x+1)^2

Resposta

f'(x)=x(x+2)(x+1)^2

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