Calcule a derivada de f(x)=x cdot e^-x^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=xcdot e^-x^2.
Para isso precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia, já que há um produto entre x e e^-x^2 e o segundo fator é uma exponencial composta.

Passo 2

Seja
u(x)=x, v(x)=e^-x^2
Pela regra do produto temos
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
u'(x)=1,
e para v(x)=e^g(x) com g(x)=-x^2, a regra da cadeia dá
v'(x)=g'(x),e^g(x)=(-2x),e^-x^2=-2x,e^-x^2

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x)=1cdot e^-x^2+xcdotl(-2x,e^-x^2r) =e^-x^2-2x^2e^-x^2
Fatorando e^-x^2:
f'(x)=(1-2x^2),e^-x^2

Resposta

f'(x)=(1-2x^2),e^-x^2

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