Calcule a derivada.
21 k(r)=\sqrt[3]{8 r^{3}+27}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
k(r)=\sqrt[3]{8r^{3}+27}.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, pois temos uma função composta do tipo u(r)^{1/3} com u(r)=8r^3+27.

Passo 2

Primeiro, escrevemos k(r) em forma de potência para facilitar a derivação:
k(r) = \bigl(8r^{3}+27\bigr)^{\tfrac{1}{3}}.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia. Se k(r)=u(r)^{1/3}, então
k'(r)=\frac{1}{3}\,u(r)^{\tfrac{1}{3}-1}\cdot u'(r).
Aqui u(r)=8r^3+27, logo
u'(r)=\frac{d}{dr}\bigl(8r^3+27\bigr)=24r^2.

Passo 4

Substituindo u(r) e u'(r) na expressão de k'(r), temos
k'(r) =\frac{1}{3}\,\bigl(8r^{3}+27\bigr)^{-\tfrac{2}{3}}\times 24r^2 =\frac{24r^2}{3\,\bigl(8r^{3}+27\bigr)^{\tfrac{2}{3}}} =\frac{8r^2}{\bigl(8r^{3}+27\bigr)^{\tfrac{2}{3}}}.

Resposta

k'(r)=\frac{8r^2}{\bigl(8r^{3}+27\bigr)^{\tfrac{2}{3}}}.

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