Calcule a derivada de
(b) g(x)=cos (e^x^2) ln (8 x) sen(2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de g(x)=cosl(e^x^2r),ln(8x),sin(2x). Aqui a matéria é derivada de produto de três funções junto com regra da cadeia (para cos(e^x^2) e sin(2x)) e derivada de ln.

Passo 2

Vamos escrever g(x) como produto de três funções: u(x)=cosl(e^x^2r), v(x)=ln(8x) e w(x)=sin(2x). A partir daí usamos a regra do produto para três fatores, que diz:
ddx[u,v,w]=u',v,w+u,v',w+u,v,w'

Passo 3

Calculamos u'(x) aplicando a regra da cadeia em u(x)=cos(h(x)) com h(x)=e^x^2:
  1. derivada de cos(h) é -sin(h),
  2. derivada de e^x^2 é e^x^2cdot2x.
    Logo,

Passo 4

Calculamos v'(x) para v(x)=ln(8x). Sabemos que ddxln(u)=u'/u. Aqui u=8x e u'=8, então
v'(x)=88x=1x

Passo 5

Calculamos w'(x) para w(x)=sin(2x). Aplicando regra da cadeia: derivada de sin(t) é cos(t) vezes derivada de t=2x, que é 2. Assim,
w'(x)=2,cos(2x)

Passo 6

Agora juntamos tudo pela regra do produto para três funções:
g'(x)=u',v,w+u,v',w+u,v,w'
Substituindo u,u',v,v',w,w':
  • Primeiro termo: u'(x),v(x),w(x)=-2x,e^x^2,sin(e^x^2),ln(8x),sin(2x).
  • Segundo termo: u(x),v'(x),w(x)=cos(e^x^2)cdot1xcdotsin(2x).
  • Terceiro termo: u(x),v(x),w'(x)=cos(e^x^2),ln(8x),2,cos(2x).

Passo 7

Reunindo os três termos, fica:
g'(x)=-2x,e^x^2,sin(e^x^2),ln(8x),sin(2x) +cos(e^x^2),sin(2x)x +2,cos(e^x^2),ln(8x),cos(2x)

Resposta

g'(x)=-2x,e^x^2,sin(e^x^2),ln(8x),sin(2x) +cos(e^x^2),sin(2x)x +2,cos(e^x^2),ln(8x),cos(2x)

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