Resolva o seguinte sistema de equações diferenciais:
Passo 1
Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações diferenciais, ou seja, duas equações que envolvem as derivadas de
e
em relação ao tempo
. O sistema é:
Vamos precisar usar o método de autovalores e autovetores para resolver esse sistema. Esse método ajuda a encontrar soluções que mostram como
e
evoluem ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de uma forma mais organizada, usando matrizes. Isso facilita a aplicação do método que vamos usar. Podemos representar o sistema assim:
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores dessa matriz
. Os autovalores nos dizem como as soluções crescem ou decrescem ao longo do tempo. Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores. Vamos calcular:
O determinante é:
Então, resolvemos a equação:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática para
:
Então, temos um autovalor duplo
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o autovetor correspondente a
. Substituímos
na equação
:
Isso nos dá a equação:
Podemos escolher
, então o autovetor é:
Passo 6
Como temos um autovalor duplo, precisamos encontrar uma segunda solução que envolve um vetor generalizado. Isso é necessário porque a multiplicidade do autovalor é maior que a dimensão do autovetor. Resolvemos
:
Resolvendo, temos:
Somando as duas equações, encontramos
, que é sempre verdadeiro. Podemos escolher
, então
. Assim, o vetor generalizado é:
Passo 7
Agora, podemos escrever a solução geral do sistema usando os autovalores e autovetores encontrados:
Onde
e
são constantes que determinam as condições iniciais.
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.