Resolva o seguinte sistema de equações diferenciais:
l d xd t=-3 x-y d yd t=x-y

Passo 1

Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações diferenciais, ou seja, duas equações que envolvem as derivadas de l d xd t = -3x - y d yd t = x - y e em relação ao tempo . O sistema é:
Vamos precisar usar o método de autovalores e autovetores para resolver esse sistema. Esse método ajuda a encontrar soluções que mostram como e evoluem ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de uma forma mais organizada, usando matrizes. Isso facilita a aplicação do método que vamos usar. Podemos representar o sistema assim:
ddt x y = -3 & -1 1 & -1 x y
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
A = -3 & -1 1 & -1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores dessa matriz det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores nos dizem como as soluções crescem ou decrescem ao longo do tempo. Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação característica:
A - lambda I = -3 - lambda & -1 1 & -1 - lambda
Onde (-3 - lambda)(-1 - lambda) - (-1)(1) = (lambda + 3)(lambda + 1) + 1 = lambda^2 + 4lambda + 4 é a matriz identidade e lambda^2 + 4lambda + 4 = 0 representa os autovalores. Vamos calcular:
O determinante é:
Então, resolvemos a equação:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática para lambda = -4 pm raiz16 - 162 = -4 pm 02 = -2 :
Então, temos um autovalor duplo .

Passo 5

Agora, vamos encontrar o autovetor correspondente a -3 - (-2) & -1 1 & -1 - (-2) v1 v2 = -1 & -1 1 & 1 v1 v2 = 0 0 . Substituímos - v1 - v2 = 0 Rightarrow v1 = -v2 na equação v = -1 1 :
Isso nos dá a equação:
Podemos escolher , então o autovetor é:

Passo 6

Como temos um autovalor duplo, precisamos encontrar uma segunda solução que envolve um vetor generalizado. Isso é necessário porque a multiplicidade do autovalor é maior que a dimensão do autovetor. Resolvemos -1 & -1 1 & 1 w1 w2 = -1 1 :
- w1 - w2 = -1 w1 + w2 = 1
Resolvendo, temos:
w = 0 1
Somando as duas equações, encontramos , que é sempre verdadeiro. Podemos escolher , então . Assim, o vetor generalizado é:

Passo 7

Agora, podemos escrever a solução geral do sistema usando os autovalores e autovetores encontrados:
x(t) y(t) = e^-2t [ C1 -1 1 + C2 ( t -1 1 + 0 1 ) ]
Onde e são constantes que determinam as condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) y(t) = e^-2t [ C1 -1 1 + C2 ( t -1 1 + 0 1 ) ]
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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