Calcule a derivada d y / d x em cada um dos exercícios 19 a 24.
y=tt^2+1, t=(x^2-1x^2)^3.

Passo 1

O enunciado dá
y = tt^2+1, t = l(x^2 - x^-2r)^3,
e pede dfracdydx. Vamos usar a regra da cadeia, isto é
dydx = dydt,dtdx

Passo 2

Calcular dfracdydt. Podemos usar a regra do quociente ou escrever
y = t,(t^2+1)^-1
e aplicar a regra do produto e a da potência. Fazendo direto por quociente,
dydt = 1cdot (t^2+1) - tcdot 2t(t^2+1)^2 = t^2+1 - 2t^2(t^2+1)^2 = 1 - t^2(t^2+1)^2

Passo 3

Calcular dfracdtdx. Primeiro defina
u = x^2 - x^-2, t = u^3
Então
dtdx = 3,u^2,dudx
Como
dudx = ddxl(x^2r) - ddxl(x^-2r) = 2x - (-2)x^-3 = 2x + 2x^-3 = 2l(x + x^-3r),
vem
dtdx = 3,u^2cdot 2l(x + x^-3r) = 6,u^2l(x + x^-3r)
Substituindo u = x^2 - x^-2,
dtdx = 6,(x^2 - x^-2)^2,l(x + x^-3r)

Passo 4

Agora aplicamos a cadeia:
dydx = dydt,dtdx = 1 - t^2(t^2+1)^2 ;times; 6,(x^2 - x^-2)^2,(x + x^-3)
Como t = (x^2-x^-2)^3, podemos escrever tudo em função de x:
t^2 = (x^2-x^-2)^6, t^2+1 = (x^2-x^-2)^6 + 1

Resposta

dydx = 6, 1 - (x^2-x^-2)^6l((x^2-x^-2)^6+1r)^2 ;(x^2-x^-2)^2;(x + x^-3)

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