Calcule as derivadas das funções dadas nos exercícios 1 a 18.
f(x)=x^2 raizx^2+1.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^2raizx^2+1
Aqui vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos a raiz como potência:
f(x)=x^2(x^2+1)^tfrac12
Pela regra do produto, se f(x)=g(x),h(x) então
f'(x)=g'(x),h(x)+g(x),h'(x)

Passo 3

Identificamos
g(x)=x^2, h(x)=(x^2+1)^tfrac12
Então
g'(x)=2x
Para h'(x) aplicamos a regra da cadeia:
h'(x)=tfrac12(x^2+1)^-tfrac12cdot 2x
h'(x)=x(x^2+1)^-tfrac12

Passo 4

Substituindo em f'(x)=g'(x),h(x)+g(x),h'(x)
f'(x)=2x,(x^2+1)^tfrac12+x^2,x,(x^2+1)^-tfrac12

Passo 5

Fatorando x,(x^2+1)^-tfrac12 em comum e simplificando dentro do colchete:
2(x^2+1)+x^2=2x^2+2+x^2=3x^2+2
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f'(x)=x,(x^2+1)^-tfrac12,(3x^2+2)
f'(x)=x(3x^2+2)raizx^2+1

Resposta

f'(x)=x(3x^2+2)raizx^2+1

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