Calcule a derivada de cada função composta dada a seguir.

Passo 1

Resumimos o enunciado: queremos derivar a função composta f(x)= (e^-x+e^x^2)^3. O conteúdo central é a regra da cadeia e as derivadas de funções exponenciais.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, identificamos a função externa g(t)= t^3 e a interna u(x)= e^-x+e^x^2. A teoria diz que se f(x)=g(u(x)), então f'(x)=g'(u(x))cdot u'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte:
• Derivada de g: g'(t)=3t^2.
• Derivada de u: é soma de e^-x e e^x^2. Temos
u'(x)=ddxe^-x+ddxe^x^2=-e^-x+2x,e^x^2
Substituímos tudo na regra da cadeia:
f'(x)=g'(u(x))cdot u'(x)=3l(u(x)r)^2cdotl(-e^-x+2x,e^x^2r)
Como u(x)=e^-x+e^x^2, concluímos:

Resposta

f'(x)=3l(e^-x+e^x^2r)^2l(-e^-x+2x,e^x^2r)

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