Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0 x^2sin(x^-1). Estamos em Cálculo I, mais precisamente no uso do Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem) para limites de funções oscilantes.

Passo 2

A ideia central é notar que a função sin(x^-1) fica sempre entre -1 e 1. Multiplicando essa desigualdade por x^2, que é sempre não negativa quando x se aproxima de zero, obtemos:
-,x^2 ;<=; x^2sin(x^-1) ;<=; x^2

Passo 3

Agora calculamos os limites das funções que aparecem nos extremos do intervalo. Como x^2 tende a zero quando xto0, temos:
limxto0(-x^2)=0
limxto0x^2=0

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, se uma função f(x) satisfaz g(x)<= f(x)<= h(x) e lim g(x)=lim h(x)=L, então lim f(x)=L. Aplicando isso ao nosso caso, concluímos que limxto0x^2sin(x^-1)=0.

Resposta

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