Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

Passo 1

Temos a função f(x)=(1+cos^2 x)^sin x. O conteúdo é derivada de função na forma u(x)^v(x), e vamos precisar usar logaritmos e a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Para derivar uma potência com base e expoente variáveis, escrevemos
f(x)=e^v(x)ln(u(x))
Então a derivada fica dada por
f'(x)=f(x)l(v'(x)ln(u(x)) + v(x)u'(x)u(x)r).

Passo 3

Identificamos u(x)=1+cos^2 x e v(x)=sin x. Logo
u'(x)=2cos xcdot(-sin x)=-2sin xcos x
e
v'(x)=cos x.

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula geral:
f'(x)=(1+cos^2 x)^sin xl(cos xln(1+cos^2 x)+sin xcdot-2sin xcos x1+cos^2 xr).

Passo 5

Agora é só simplificar e, se quiser, fatorar cos x. Obtemos
f'(x)=(1+cos^2 x)^sin xcos xl(ln(1+cos^2 x)-2sin^2 x1+cos^2 xr),
que é a forma final.

Passo 6

Essa expressão já reúne tudo: a potência original multiplicada pela combinação dos termos que vieram da derivada do expoente e da derivada da base.

Resposta

f'(x)=(1+cos^2 x)^sin xcos xl(ln(1+cos^2 x)-dfrac2sin^2 x1+cos^2 xr)

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