Encontre o vetor direção da reta tangente no ponto dado da curva
que é interseção das superfícies:
e
, no ponto
.
Passo 1
A curva C é dada pela interseção das superfícies x²–2xz+y²z=1 e 3xy+2yz=–6. Para achar a direção da reta tangente em (1,–2,0), usamos que ela é ortogonal aos vetores normais das superfícies, ou seja, aos gradientes dessas funções. Vamos calcular ∇F, ∇G e então o produto vetorial.
Passo 2
Definindo F(x,y,z)=x²–2xz+y²z, o gradiente é ∇F=(∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z). Calculando as derivadas parciais: ∂F/∂x=2x–2z, ∂F/∂y=2yz, ∂F/∂z=–2x+y². Avaliando em (1,–2,0) obtemos ∇F(1,–2,0)=(2,0,2).
Passo 3
Definindo G(x,y,z)=3xy+2yz, o gradiente é ∇G=(∂G/∂x, ∂G/∂y, ∂G/∂z). Calculando: ∂G/∂x=3y, ∂G/∂y=3x+2z, ∂G/∂z=2y. Avaliando em (1,–2,0) obtemos ∇G(1,–2,0)=(-6,3,-4).
Passo 4
A direção da reta tangente é dada por ∇F×∇G. Calculamos o produto vetorial:
Para simplificar, basta dividir por –2 e obter o vetor mais simples (3,2,–3), que também aponta na mesma direção.
Resposta
(3,2,-3)