Encontre o vetor direção da reta tangente no ponto dado da curva C que é interseção das superfícies:
x^2-2 x z+y^2 z=1 e 3 x y+2 y z=-6, no ponto (1,-2,0).

Passo 1

A curva C é dada pela interseção das superfícies x²–2xz+y²z=1 e 3xy+2yz=–6. Para achar a direção da reta tangente em (1,–2,0), usamos que ela é ortogonal aos vetores normais das superfícies, ou seja, aos gradientes dessas funções. Vamos calcular ∇F, ∇G e então o produto vetorial.

Passo 2

Definindo F(x,y,z)=x²–2xz+y²z, o gradiente é ∇F=(∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z). Calculando as derivadas parciais: ∂F/∂x=2x–2z, ∂F/∂y=2yz, ∂F/∂z=–2x+y². Avaliando em (1,–2,0) obtemos ∇F(1,–2,0)=(2,0,2).

Passo 3

Definindo G(x,y,z)=3xy+2yz, o gradiente é ∇G=(∂G/∂x, ∂G/∂y, ∂G/∂z). Calculando: ∂G/∂x=3y, ∂G/∂y=3x+2z, ∂G/∂z=2y. Avaliando em (1,–2,0) obtemos ∇G(1,–2,0)=(-6,3,-4).

Passo 4

A direção da reta tangente é dada por ∇F×∇G. Calculamos o produto vetorial:
nabla F(1,-2,0) times nabla G(1,-2,0) = i & j & k 2 & 0 & 2 -6 & 3 & -4 = (-6,-4,6)
Para simplificar, basta dividir por –2 e obter o vetor mais simples (3,2,–3), que também aponta na mesma direção.

Resposta

(3,2,-3)

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