Calcule a derivada de cada função composta dada a seguir.

Passo 1

No enunciado é dada a função y = lnl(x + raizx^2 + 1r). O conteúdo envolve derivada de logaritmo, derivada de raiz quadrada e aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, definimos u = x + raizx^2 + 1, assim temos y = ln(u). Sabendo que a derivada de ln(u) em relação a u é 1/u, vamos calcular u'.

Passo 3

Calculando u': a derivada de x é 1 e a derivada de raizx^2 + 1 é dada por 12raizx^2 + 1 cdot 2x = xraizx^2 + 1. Logo,
u' = 1 + xraizx^2 + 1 = raizx^2 + 1 + xraizx^2 + 1

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia:
y' = u'u = raizx^2 + 1 + xraizx^2 + 1l(x + raizx^2 + 1r)

Passo 5

Como x + raizx^2 + 1 = raizx^2 + 1 + x, há um cancelamento, resultando em
y' = 1raizx^2 + 1

Resposta

y' = 1raizx^2 + 1

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