Calcule a derivada de cada função composta dada a seguir.
g(x)=(3+cos x)^x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de g(x) = (3 + cos x)^x. O conteúdo envolvido é derivação de função na forma u(x)^{v(x)}, onde vamos usar diferenciação logarítmica, regra do produto e derivada de coseno.

Passo 2

Definimos y = g(x) e aplicamos logaritmo natural para simplificar a potência. Dessa forma temos:
ln y = x lnl(3 + cos xr)

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo aplicamos cadeia, e no direito usamos regra do produto:
y'y = 1 cdot lnl(3 + cos xr) + x cdot ddxl[lnl(3 + cos xr)r]

Passo 4

Calculamos a derivada de ln(3 + cos x) usando regra da cadeia: derivada de 3 + cos x é -sin x, depois dividimos pela própria expressão. Logo:
ddxl[ln(3 + cos x)r] = -sin x3 + cos x
Substituindo, obtemos:
y'y = lnl(3 + cos xr) - xsin x3 + cos x

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por y para encontrar y’, lembrando que y = (3 + cos x)^x. Assim:
y' = y l(ln(3 + cos x) - xsin x3 + cos xr)
Substituindo y de volta:

Passo 6

Substituindo y = (3 + cos x)^x na expressão acima, chegamos ao resultado final:
y' = (3 + cos x)^x l(ln(3 + cos x) - xsin x3 + cos xr)

Resposta

g'(x) = (3 + cos x)^x l(ln(3 + cos x) - tfracxsin x3 + cos xr)

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