Calcule a derivada de cada função composta dada a seguir.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de g(x) = (3 + cos x)^x. O conteúdo envolvido é derivação de função na forma u(x)^{v(x)}, onde vamos usar diferenciação logarítmica, regra do produto e derivada de coseno.
Passo 2
Definimos y = g(x) e aplicamos logaritmo natural para simplificar a potência. Dessa forma temos:
Passo 3
Agora derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo aplicamos cadeia, e no direito usamos regra do produto:
Passo 4
Calculamos a derivada de ln(3 + cos x) usando regra da cadeia: derivada de 3 + cos x é -sin x, depois dividimos pela própria expressão. Logo:
Substituindo, obtemos:
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados por y para encontrar y’, lembrando que y = (3 + cos x)^x. Assim:
Substituindo y de volta:
Passo 6
Substituindo y = (3 + cos x)^x na expressão acima, chegamos ao resultado final: