8 Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento
1.
f(x)=(x^3+2 x-1)^8
f(s)=4(3 s^2+2 s2 s+1)^-2
f(t)=(x^2+x)^4(t^2+t+1)^7
f(x)=2 raizx^2+3x+1
f(x)=5^raizx^2+1
f(x)=e^raizx^2+1x-1
f(a)=e^-a^2(1+a^2)^2
f(x)=(x^2+1) exp (x^3+x^2x^2+1)
[

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede: temos oito funções e precisamos calcular suas derivadas em relação ao argumento. O assunto principal é a regra da cadeia, mas também vamos usar regra do produto e do quociente quando necessário.

Passo 2

Para a função f(x)=(x3+2x-1)8, percebemos que é uma potência de uma função interna. Se definirmos u=x^3+2x-1, então f(x)=u^8 e pela regra da cadeia f’(x)=8u^7·u’, com u’=3x^2+2. Logo:
f'(x)=8(x^3+2x-1)^7(3x^2+2)

Passo 3

Na função f(s)=4((3s2+2s)/(2s+1)){-2}, chamamos u=(3s^2+2s)/(2s+1). Assim f(s)=4u^{-2}. Pela regra da cadeia f’(s)=4·(-2)u^{-3}·u’. Para u aplicamos regra do quociente:
u'=(6s+2)(2s+1)-(3s^2+2s)·2(2s+1)^2=6s^2+6s+2(2s+1)^2
Substituindo, obtemos
f'(s)=-8(3s^2+2s2s+1)^-36s^2+6s+2(2s+1)^2

Passo 4

Para f(t)=(t2+t)4/(t2+t+1)7 usamos a regra do quociente: seja U=(t2+t)4 e V=(t2+t+1)7. Temos U’=4(t2+t)3·(2t+1) e V’=7(t2+t+1)6·(2t+1). A derivada é f’(t)=[U’V - UV’]/V^2, que simplifica para
f'(t)=(t^2+t)^3(2t+1)(-3t^2-3t+4)(t^2+t+1)^8

Passo 5

Na função f(x)=2√(x^2+3)/(x+1) fazemos quociente com U=2√(x^2+3) e V=x+1. Calculamos U’=2x/√(x^2+3) e V’=1. Assim:
f'(x)=2xraizx^2+3(x+1)-2raizx^2+3(x+1)^2

Passo 6

Para f(x)=5{√(x2+1)} aplicamos a regra da exponencial com base 5: d/dx a{u(x)}=a{u(x)}·ln(a)·u’(x). Aqui u=√(x^2+1) e u’=x/√(x^2+1). Logo:
f'(x)=5^raizx^2+1ln(5)xraizx^2+1

Passo 7

Na função f(x)=e{√(x2+1)}/(x-1) usamos quociente com U=e{√(x2+1)} e V=x-1. Temos U’=e{√(x2+1)}·(x/√(x^2+1)) e V’=1. Então:
f'(x)=e^raizx^2+1xraizx^2+1(x-1)-e^raizx^2+1(x-1)^2

Passo 8

Para f(a)=e{-a2}/(1+a2)2 também usamos quociente. Seja U=e{-a2} com U’=-2a e{-a2}, e V=(1+a2)2 com V’=4a(1+a^2). A derivada fica
f'(a)=-2a e^-a^2(1+a^2)^2 - e^-a^2·4a(1+a^2)(1+a^2)^4,
que simplifica para
f'(a)=-2ae^-a^2(3+a^2)(1+a^2)^3

Passo 9

Finalmente, f(x)=(x2+1)exp((x3+x2)/(x2+1)) é produto de U=x^2+1 e V=exp(w) com w=(x3+x2)/(x^2+1). Temos U’=2x. Para w usamos quociente e obtemos
w'=(3x^2+2x)(x^2+1)-(x^3+x^2)·2x(x^2+1)^2=x^4+3x^2+2x(x^2+1)^2
Logo V’=exp(w)·w’ e a regra do produto dá
f'(x)=e^wl[2x+(x^2+1)x^4+3x^2+2x(x^2+1)^2r],
que se rearranja para
f'(x)=(x^4+2x^3+3x^2+4x)e^x^3+x^2x^2+1x^2+1

Resposta

  1. f'(x)=8(x^3+2x-1)^7(3x^2+2)
  2. f'(s)=-8(3s^2+2s2s+1)^-36s^2+6s+2(2s+1)^2
  3. f'(t)=(t^2+t)^3(2t+1)(-3t^2-3t+4)(t^2+t+1)^8
  4. f'(x)=2xraizx^2+3(x+1)-2raizx^2+3(x+1)^2
  5. f'(x)=5^raizx^2+1ln(5)xraizx^2+1
  6. f'(x)=e^raizx^2+1xraizx^2+1(x-1)-e^raizx^2+1(x-1)^2
  7. f'(a)=-2ae^-a^2(3+a^2)(1+a^2)^3
  8. f'(x)=(x^4+2x^3+3x^2+4x)e^x^3+x^2x^2+1x^2+1

Exercícios relacionados