8 Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão pede: temos oito funções e precisamos calcular suas derivadas em relação ao argumento. O assunto principal é a regra da cadeia, mas também vamos usar regra do produto e do quociente quando necessário.
Passo 2
Para a função f(x)=(x3+2x-1)8, percebemos que é uma potência de uma função interna. Se definirmos u=x^3+2x-1, então f(x)=u^8 e pela regra da cadeia f’(x)=8u^7·u’, com u’=3x^2+2. Logo:
Passo 3
Na função f(s)=4((3s2+2s)/(2s+1)){-2}, chamamos u=(3s^2+2s)/(2s+1). Assim f(s)=4u^{-2}. Pela regra da cadeia f’(s)=4·(-2)u^{-3}·u’. Para u aplicamos regra do quociente:
Substituindo, obtemos
Passo 4
Para f(t)=(t2+t)4/(t2+t+1)7 usamos a regra do quociente: seja U=(t2+t)4 e V=(t2+t+1)7. Temos U’=4(t2+t)3·(2t+1) e V’=7(t2+t+1)6·(2t+1). A derivada é f’(t)=[U’V - UV’]/V^2, que simplifica para
Passo 5
Na função f(x)=2√(x^2+3)/(x+1) fazemos quociente com U=2√(x^2+3) e V=x+1. Calculamos U’=2x/√(x^2+3) e V’=1. Assim:
Passo 6
Para f(x)=5{√(x2+1)} aplicamos a regra da exponencial com base 5: d/dx a{u(x)}=a{u(x)}·ln(a)·u’(x). Aqui u=√(x^2+1) e u’=x/√(x^2+1). Logo:
Passo 7
Na função f(x)=e{√(x2+1)}/(x-1) usamos quociente com U=e{√(x2+1)} e V=x-1. Temos U’=e{√(x2+1)}·(x/√(x^2+1)) e V’=1. Então:
Passo 8
Para f(a)=e{-a2}/(1+a2)2 também usamos quociente. Seja U=e{-a2} com U’=-2a e{-a2}, e V=(1+a2)2 com V’=4a(1+a^2). A derivada fica
que simplifica para
Passo 9
Finalmente, f(x)=(x2+1)exp((x3+x2)/(x2+1)) é produto de U=x^2+1 e V=exp(w) com w=(x3+x2)/(x^2+1). Temos U’=2x. Para w usamos quociente e obtemos
Logo V’=exp(w)·w’ e a regra do produto dá
que se rearranja para