9 Dadas as funções abaixo, determine suas derivadas, em relação ao seu argumento, até segunda ordem.
1.
f(t)=x0+v0 t+a02 t^2
f(t)=x0 sen(w t+a)
f(t)=x0 cos (w t+a) e^-w t
x(t)=x02+v0(t-t0)+x02 e^-(t-t0) / t0
f(x)=exp (-x^22 s)

Passo 1

O exercício pede para calcular a primeira e segunda derivadas de cinco funções diferentes, usando regras de derivação como: regra do polinômio, regra da cadeia, regra do produto e derivada de funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Para f(t)=x0+v0t+tfraca02t^2, aplicamos derivada de soma e potência: primeiro derivada linear e depois constante.
Para f(t)=x0sin(wt+a), usamos a regra da cadeia e a derivada de sin para obter primeira e segunda derivadas.
Para f(t)=x0cos(wt+a)e^-wt, aplicamos a regra do produto junto com a cadeia em cada fator.
Para x(t)=tfracx02+v0(t-t0)+tfracx02e^-(t-t0)/t0, derivamos termos constantes, lineares e exponenciais.
Para f(x)=expl(-tfracx^22sr), usamos a cadeia na exponencial para derivar até a segunda ordem.

Resposta

  1. Para f(t)=x0+v0t+tfraca02t^2:
f'(t)=v0+a0t
f''(t)=a0
  1. Para f(t)=x0sin(wt+a):
f'(t)=x0wcos(wt+a)
f''(t)=-x0w^2sin(wt+a)
  1. Para f(t)=x0cos(wt+a)e^-wt:
f'(t)=-x0w,e^-wtl[sin(wt+a)+cos(wt+a)r]
f''(t)=2x0w^2e^-wtsin(wt+a)
  1. Para x(t)=tfracx02+v0(t-t0)+tfracx02e^-(t-t0)/t0:
x'(t)=v0-x02t0e^-(t-t0)/t0
x''(t)=x02t0^2e^-(t-t0)/t0
  1. Para f(x)=expl(-tfracx^22sr):
f'(x)=-xse^-x^2/(2s)
f''(x)=e^-x^2/(2s)l(x^2s^2-1sr)

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