Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

Passo 1

A questão pede para calcular a derivada de f(x)=l(1+arctan(x^2)r)^3. O conteúdo é derivada de função composta, então vamos precisar usar a regra da cadeia e também conhecer a derivada de arctan(u).

Passo 2

Identificamos a composição em duas etapas: primeiro h(x)=1+arctan(x^2) e depois g(u)=u^3, de modo que f(x)=g(h(x)). Pela regra da cadeia temos: f'(x)=g'(h(x))cdot h'(x) e sabemos que g'(u)=3u^2. Assim,
Aplicamos g'(h(x))=3l(h(x)r)^2=3l(1+arctan(x^2)r)^2. Ainda falta h'(x). Como h(x)=1+arctan(x^2), a derivada de 1 é zero e, usando a regra da cadeia em arctan(v) com v=x^2, temos

Passo 3

Para v=x^2 vale v'=2x e ddvarctan(v)=11+v^2. Logo,
h’(x)=\frac{2x}{1+(x2)2}=\frac{2x}{1+x^4}.

Passo 4

Substituindo em f'(x)=3l(1+arctan(x^2)r)^2cdot h'(x) obtemos
f’(x)=3\bigl(1+\arctan(x2)\bigr)2\cdot\frac{2x}{1+x4}=\frac{6x\bigl(1+\arctan(x2)\bigr)2}{1+x4}.

Resposta

f'(x)=6xl(1+arctan(x^2)r)^21+x^4

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