Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
A questão pede para calcular a derivada de
. O conteúdo é derivada de função composta, então vamos precisar usar a regra da cadeia e também conhecer a derivada de
.
Passo 2
Identificamos a composição em duas etapas: primeiro
e depois
, de modo que
. Pela regra da cadeia temos:
e sabemos que
. Assim,
Aplicamos . Ainda falta
. Como
, a derivada de 1 é zero e, usando a regra da cadeia em
com
, temos
Aplicamos
Passo 3
Para
vale
e
. Logo,
h’(x)=\frac{2x}{1+(x2)2}=\frac{2x}{1+x^4}.
h’(x)=\frac{2x}{1+(x2)2}=\frac{2x}{1+x^4}.
Passo 4
Substituindo em
obtemos
f’(x)=3\bigl(1+\arctan(x2)\bigr)2\cdot\frac{2x}{1+x4}=\frac{6x\bigl(1+\arctan(x2)\bigr)2}{1+x4}.
f’(x)=3\bigl(1+\arctan(x2)\bigr)2\cdot\frac{2x}{1+x4}=\frac{6x\bigl(1+\arctan(x2)\bigr)2}{1+x4}.