Calcule as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de uma função racional da forma
. O conteúdo envolvido é decomposição em frações parciais para funções racionais e uso de integrais conhecidas de
,
,
e suas combinações. Vamos precisar: (1) decompor a função em frações simples; (2) determinar os coeficientes resolvendo um sistema; (3) integrar cada termo usando primitiva de log, arctan e identidades para
.
Passo 2
Fazendo a decomposição em frações parciais, supomos que
Passo 3
Resolvendo o sistema (por comparação de coeficientes de
ou avaliando em valores convenientes), obtemos:
Passo 4
Logo a integral se escreve como soma de cinco termos:
Passo 5
Para os três primeiros termos:
Passo 6
No quarto termo, escrevemos
para usar
. Calcula-se
,
. Então
Passo 7
Ao integrar e juntar tudo, chega-se à primitiva completa:
Resposta
-\frac{2}{27}\ln|x|+\frac{1}{6}\ln|x-1|-\frac{5}{108}\ln\bigl(x2+2x+3\bigr)+\frac{4}{9x}+\frac{2x+1}{18\bigl(x2+2x+3\bigr)}+\frac{8}{27\sqrt2},\arctan!\bigl(\tfrac{x+1}{\sqrt2}\bigr)+C