Calcule as seguintes integrais

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função racional da forma integral2x+4x^2(x-1)(x^2+2x+3)^2,dx. O conteúdo envolvido é decomposição em frações parciais para funções racionais e uso de integrais conhecidas de 1/x^n, 1/(ax^2+bx+c), 1/(ax^2+bx+c)^2 e suas combinações. Vamos precisar: (1) decompor a função em frações simples; (2) determinar os coeficientes resolvendo um sistema; (3) integrar cada termo usando primitiva de log, arctan e identidades para 1/(u^2+a^2)^2.

Passo 2

Fazendo a decomposição em frações parciais, supomos que
2x+4x^2(x-1)(x^2+2x+3)^2 = Ax + Bx^2 + Cx-1 + Dx+Ex^2+2x+3 + Fx+G(x^2+2x+3)^2Multiplicamos ambos os lados por x^2(x-1)(x^2+2x+3)^2 e igualamos coeficientes de potências de x. Isso gera um sistema linear para A,B,C,D,E,F,G.

Passo 3

Resolvendo o sistema (por comparação de coeficientes de x^6,x^5,dots,x^0 ou avaliando em valores convenientes), obtemos:
A=-tfrac227, B=-tfrac49, C=tfrac16, D=-tfrac554, E=tfrac554, F=tfrac19, G=tfrac59

Passo 4

Logo a integral se escreve como soma de cinco termos:
I=integralAxdx+integralBx^2dx+integralCx-1dx+integralDx+Ex^2+2x+3dx+integralFx+G(x^2+2x+3)^2dx

Passo 5

Para os três primeiros termos:
integralAxdx = Aln|x|, integralBx^2dx = -Bx, integralCx-1dx = Cln|x-1|

Passo 6

No quarto termo, escrevemos Dx+E=alpha,(2x+2)+beta para usar d(x^2+2x+3)=2x+2. Calcula-se alpha=-tfrac5108, beta=tfrac527. Então
integralDx+Ex^2+2x+3dx = alphaln(x^2+2x+3) + betaintegraldx(x+1)^2+2A última integral usa u=x+1 e a fórmula
integraldu(u^2+a^2)^2=u2a^2(u^2+a^2)+12a^3arctanua, a=raiz2

Passo 7

Ao integrar e juntar tudo, chega-se à primitiva completa:
I=-tfrac227ln|x|+tfrac16ln|x-1|-tfrac5108ln(x^2+2x+3)+49x+2x+118(x^2+2x+3)+827raiz2,arctan!l(tfracx+1raiz2r)+C

Resposta

-\frac{2}{27}\ln|x|+\frac{1}{6}\ln|x-1|-\frac{5}{108}\ln\bigl(x2+2x+3\bigr)+\frac{4}{9x}+\frac{2x+1}{18\bigl(x2+2x+3\bigr)}+\frac{8}{27\sqrt2},\arctan!\bigl(\tfrac{x+1}{\sqrt2}\bigr)+C

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