Calcule as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria de uma função racional. O conteúdo principal é decomposição em frações parciais e depois integrar cada parte usando logaritmos e arctan. Para isso vamos precisar reescrever a função como soma de termos simples e usar as integrais padrão \ $\int u’/u,dx=\ln|u|$ e \ $\int1/(1+u^2),dx=\arctan(u)$.
Passo 2
Começamos decompondo:\
Multiplicando ambos os lados por \(x-1)(x^2+6x+10)\ e coletando coeficientes, obtemos o sistema:
A+B=4,\
6A+C−B=17,\
10A−C=13.
Resolvendo, achamos \A=2, B=2, C=7.
A+B=4,\
6A+C−B=17,\
10A−C=13.
Resolvendo, achamos \A=2, B=2, C=7.
Passo 3
Substituindo na integral, temos:
A primeira parte é direta:
Passo 4
Para a segunda parte, completamos o quadrado: $x2+6x+10=(x+3)2+1$. Fazendo a troca \u=x+3\, então \du=dx\ e \2x+7=2(u−3)+7=2u+1\. Logo:
Usando \int u’/(u2+1)du=\frac12\ln(u2+1)\ e \int1/(u^2+1)du=\arctan(u)\, obtemos \ln(u^2+1)+\arctan(u)\.
Passo 5
Voltando a \u=x+3\, a primitiva geral fica:
$$
2\ln|x-1|+\ln\bigl((x+3)^2+1\bigr)+\arctan(x+3)+C.
$$
2\ln|x-1|+\ln\bigl((x+3)^2+1\bigr)+\arctan(x+3)+C.
$$
Resposta
2\ln|x-1| + \ln\bigl((x+3)^2+1\bigr) + \arctan(x+3) + C