Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
f(x)=tg(3 x)arctg(3 x)

Passo 1

A função é f(x) = tan(3x)arctan(3x). Vamos usar derivada de quociente, regra da cadeia e as derivadas de tan u e arctan u.

Passo 2

Seja g(x)=tan(3x) e h(x)=arctan(3x). Pela regra do quociente temos
f'(x)=g'(x),h(x)-g(x),h'(x)[h(x)]^2

Passo 3

Agora calculamos g'(x). Como g(x)=tan(u) com u=3x, por regra da cadeia:
g'(x)=sec^2(u)cdot u'=sec^2(3x)cdot3=3sec^2(3x)

Passo 4

Em seguida h'(x). Como h(x)=arctan(u) com u=3x, também pela cadeia:
h'(x)=11+u^2cdot u'=11+(3x)^2cdot3=31+9x^2

Passo 5

Substituindo g'(x) e h'(x) na regra do quociente:
f'(x)=3sec^2(3x)cdotarctan(3x)-tan(3x)cdot31+9x^2[arctan(3x)]^2

Resposta

f'(x)=3,arctan(3x),sec^2(3x)-dfrac3,tan(3x)1+9x^2[arctan(3x)]^2

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