Calcule as seguintes integrais

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 5x,(x^2-9),dx. O conteúdo principal é decomposição em frações parciais de integrais racionais e depois integração term-a-term.

Passo 2

Vamos usar frações parciais. Escrevemos
5x,(x^2-9) = Ax + Bx-3 + Cx+3
Multiplicando ambos os lados por x(x^2-9), obtemos
5 = A(x^2-9) + B,x(x+3) + C,x(x-3)

Passo 3

Para determinar A,B,C podemos usar raízes:
  • Em x=0: 5 = A(0^2-9)= -9A A=-5/9.
  • Em x=3: 5 = Bcdot3cdot6=18B B=5/18.
  • Em x=-3: 5 = Ccdot(-3)cdot(-6)=18C C=5/18.

Passo 4

Reescrevendo a integral com os coeficientes achados:
integral 5x(x^2-9),dx = integral l(-591x + 5181x-3 + 5181x+3r)dx
Agora integramos cada termo:
-59integral dxx + 518integral dxx-3 + 518integral dxx+3 = -59ln|x| + 518ln|x-3| + 518ln|x+3| + C

Resposta

-\frac{5}{9}\ln|x| + \frac{5}{18}\ln|x-3| + \frac{5}{18}\ln|x+3| + C

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