Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

Passo 1

A função dada é f(x)=arctgl(raiz1-x1+xr). Para derivá-la, vamos usar a regra da cadeia duas vezes: primeiro na derivada de arctg(u) e depois na derivada de u=raiz(1-x)/(1+x). Também precisaremos da regra do quociente para derivar (1-x)/(1+x).

Passo 2

Definimos u(x)=1-x1+x. Aplicando a regra do quociente, temos:
$$
u’(x)=\frac{-(1+x)-(1-x)\cdot1}{(1+x)2}=\frac{-2}{(1+x)2}.$$

Passo 3

Agora definimos y(x)=raizu(x)=u(x)^1/2. Pela regra da cadeia:
$$
y’(x)=\tfrac12u(x){-1/2},u’(x)=\tfrac12\frac{-2}{(1+x)2},u(x){-1/2}=-\frac{1}{(1+x)2\sqrt{u(x)}}.$$

Passo 4

Em seguida, derivamos f(x)=arctg(y(x)). Como tfracddyarctg(y)=11+y^2, temos:
$$
f’(x)=\frac{1}{1+y(x)2},y’(x)=-\frac{1}{(1+y(x)2)(1+x)^2\sqrt{u(x)}}.$$

Passo 5

Para simplificar, note que y(x)^2=u(x)=1-x1+x, então
1+y(x)^2=1+u(x)=21+x,
e
raizu(x)=raiz1-x1+x
Substituindo esses valores em f'(x), obtemos:
$$
f’(x)=-\frac{1}{2(1+x)\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}=-\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}.$$

Resposta

f'(x)=-12raiz1-x^2.

Exercícios relacionados