Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
A função dada é
. Para derivá-la, vamos usar a regra da cadeia duas vezes: primeiro na derivada de
e depois na derivada de
. Também precisaremos da regra do quociente para derivar
.
Passo 2
Definimos
. Aplicando a regra do quociente, temos:
$$
u’(x)=\frac{-(1+x)-(1-x)\cdot1}{(1+x)2}=\frac{-2}{(1+x)2}.$$
Passo 3
Agora definimos
. Pela regra da cadeia:
$$
y’(x)=\tfrac12u(x){-1/2},u’(x)=\tfrac12\frac{-2}{(1+x)2},u(x){-1/2}=-\frac{1}{(1+x)2\sqrt{u(x)}}.$$
Passo 4
Em seguida, derivamos
. Como
, temos:
$$
f’(x)=\frac{1}{1+y(x)2},y’(x)=-\frac{1}{(1+y(x)2)(1+x)^2\sqrt{u(x)}}.$$
Passo 5
Para simplificar, note que
, então
e
Substituindo esses valores em
, obtemos:
$$
f’(x)=-\frac{1}{2(1+x)\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}=-\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}.$$