Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

Passo 1

A questão pede para calcular a derivada da função f(x)=x,arctg(x^2 - x). O conteúdo aqui envolve a regra do produto e a regra da cadeia, já que temos x multiplicando arctg(x^2 - x).

Passo 2

Definimos as duas funções auxiliares para aplicar a regra do produto:
u(x)=x e v(x)=arctg(x^2 - x).

Passo 3

Pela regra do produto, temos
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 4

Calculamos agora as derivadas que aparecem:
Para u(x)=x,
u'(x)=1
Para v(x)=arctg(g(x)) com g(x)=x^2 - x, usamos a regra da cadeia:
v'(x)=g'(x)1+[g(x)]^2
E
$$
g’(x)=2x-1.$$

Passo 5

Substituindo g(x) e g'(x) em v'(x) obtemos
v'(x)=2x-11+(x^2 - x)^2

Passo 6

Agora basta colocar tudo na fórmula da regra do produto:
f'(x)=1cdotarctg(x^2 - x)+xcdot2x-11+(x^2 - x)^2

Resposta

f'(x)=arctg(x^2 - x)+dfracx(2x-1)1+(x^2 - x)^2.

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