(Expansão Adiabática) Quando certo gás composto sofre uma expansão adiabática, a sua pressão
e seu volume
satisfazem à equação
, onde
é uma constante. Mostre que
.
Passo 1
A questão diz que, em uma expansão adiabática, a pressão
e o volume
obedecem
, com
constante. O que queremos mostrar é a relação entre as variações temporais
e
. Para isso vamos usar diferenciação implícita e a regra do produto (ou regra da cadeia).
Passo 2
Começamos diferenciando em relação ao tempo a identidade
Pela regra do produto (e da cadeia) isso dá
E como
, ficamos com
Passo 3
Para isolar a relação desejada, dividimos toda a equação por
, obtendo
que é equivalente a
Resposta
-V \frac{dp}{dt}=1,3,p \frac{dV}{dt}