(Expansão Adiabática) Quando certo gás composto sofre uma expansão adiabática, a sua pressão p e seu volume V satisfazem à equação p V^1,3=k, onde k é uma constante. Mostre que -V d pd t=1,3 p d Vd t.

Passo 1

A questão diz que, em uma expansão adiabática, a pressão p e o volume V obedecem p,V^1,3=k, com k constante. O que queremos mostrar é a relação entre as variações temporais dpdt e dVdt. Para isso vamos usar diferenciação implícita e a regra do produto (ou regra da cadeia).

Passo 2

Começamos diferenciando em relação ao tempo a identidade
p,V^1,3=k Longrightarrow ddtl(p,V^1,3r)=0
Pela regra do produto (e da cadeia) isso dá
V^1,3dpdt+pcdotddtl(V^1,3r)=0
E como ddt(V^1,3)=1,3,V^0,3dVdt, ficamos com
V^1,3dpdt+1,3,p,V^0,3dVdt=0

Passo 3

Para isolar a relação desejada, dividimos toda a equação por V^0,3, obtendo
Vdpdt+1,3,pdVdt=0
que é equivalente a
-Vdpdt=1,3,pdVdt

Resposta

-V \frac{dp}{dt}=1,3,p \frac{dV}{dt}

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