Encontre o vetor direção da reta tangente no ponto dado da curva C que é interseção das superfícies:
x z+2 x+4 z=5 e 4 x y+3 y+6 z=56, no ponto (2,5,1 / 6).

Passo 1

A gente tem a curva C como interseção de duas superfícies dadas por F(x,y,z)=0 e G(x,y,z)=0. O conteúdo aqui é geometria diferencial em espaço ,mathbb{R}^3, e para achar o vetor direção da reta tangente numa curva definida assim a gente usa que esse vetor é ortogonal aos vetores normais de cada superfície, ou seja, é o produto vetorial entre ∇F e ∇G.

Passo 2

Primeiro a gente identifica as funções e calcula os gradientes. As superfícies são dados por
F(x,y,z)=x z +2x+4z-5=0,
G(x,y,z)=4xy+3y+6z-56=0

Passo 3

Então
∇F(x,y,z)=(,z+2,;0,;x+4,),
∇G(x,y,z)=(,4y,;4x+3,;6,)

Passo 4

Agora a gente avalia esses gradientes no ponto (2,5,1/6). Para ∇F:
∇Fl(2,5,tfrac16r)=l(tfrac16+2,;0,;2+4r)=l(tfrac136,;0,;6r)

Passo 5

E para ∇G:
∇Gl(2,5,tfrac16r)=l(4cdot5,;4cdot2+3,;6r)=(20,;11,;6)

Passo 6

O vetor direção da reta tangente é o produto vetorial
v=∇Ftimes∇G= i&j&k[4pt] tfrac136&0&6[4pt]20&11&6 =l(0cdot6-6cdot11,,-(tfrac136cdot6-6cdot20),,tfrac136cdot11-0r)=(-66,;107,;tfrac1436)

Passo 7

Como qualquer múltiplo serve, a gente pode multiplicar tudo por 6 para limpar a fração e obter um vetor com coordenadas inteiras:
v' =6,v=(-396,;642,;143)

Resposta

(-396, 642, 143)

Exercícios relacionados